Aufgaben:Exercise 3.2: Laplace Transform

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Three causal time functions

Causal signals and systems are usually described by means of the Laplace transformation. If  $x(t)$  is identical to zero for all times  $t < 0$,  then the Laplace transform is:

$$X_{\rm L}(p) = \int_{0}^{ \infty} { x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-p t}}\hspace{0.1cm}{\rm d}t\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm} .$$

In this exercise, the Laplace transforms of the causal signals shown in the graph are to be determined.  The following equations are valid in each case only for  $t \ge 0$.  For negative times, all signals are identical to zero.

• Cosine signal with period  $T_0$:

$$x(t) = {\rm cos} (2\pi \cdot {t}/{T_0})= {\rm cos} (\omega_0 \cdot t) \hspace{0.05cm},$$

• sine signal with period  $T_0$:

$$y(t) = {\rm sin} (2\pi \cdot {t}/{T_0})= {\rm sin} (\omega_0 \cdot t) \hspace{0.05cm},$$

• $\sin(t)/t$–signal with equivalent zero-crossings at a distance of  $T$:

$$z(t) = {\rm si} (\pi \cdot {t}/{T})\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}{\rm si}(x)= {\rm sin}(x)/x \hspace{0.05cm}.$$

Da  $z(t)$  ebenso wie die Signale  $x(t)$  und  $y(t)$  nicht energiebegrenzt ist, kann zur Berechnung der Spektralfunktion nicht die folgende Gleichung herangezogen werden:

$$Z(f) = Z_{\rm L}(p)\Bigg |_{\hspace{0.1cm} p\hspace{0.05cm}=\hspace{0.05cm}{\rm j \hspace{0.05cm}2\pi \it f}} .$$

Vielmehr ist zu berücksichtigen, dass  $z(t) = s(t) \cdot \gamma(t)$  gilt, wobei  $s(t)$  hier die herkömmliche symmetrische  $\rm si$–Funktion bezeichnet:

$$s(t) = {\rm si} (\pi \cdot {t}/{T}) \quad \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\quad S(f)$$

$S(f)$  ist eine um  $f = 0$  symmetrische Rechteckfunktion mit Höhe  $T$  und Breite  $1/T$.

Die Fouriertansformierte der Sprungfunktion  $\gamma(t)$  lautet:

$$\gamma(t) \quad \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\quad {\it \Gamma}(f) = {1}/{2} \cdot \delta (f) + \frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f}\hspace{0.05cm}.$$

Please note:

• The exercise belongs to the chapter  Laplace Transform and p-Transfer Function.
• Gegeben sind folgende bestimmte Integrale:

$$\int_{0}^{ \infty} { {\rm e}^{-p x} \cdot \cos(qx)}\hspace{0.1cm}{\rm d}x = \frac{p}{p^2 + q^2}\hspace{0.05cm} , \hspace{1.0cm}\int_{0}^{ \infty} { {\rm e}^{-p x} \cdot \sin(qx)}\hspace{0.1cm}{\rm d}x = \frac{q}{p^2 + q^2}\hspace{0.05cm} , $$

$$\int_{0}^{ \infty} { {\rm e}^{-p x} \cdot \frac{\sin(qx)}{x}}\hspace{0.1cm}{\rm d}x = {\rm arctan}\hspace{0.15cm}\frac{q}{p}\hspace{0.05cm} , \hspace{0.6cm} \int_{A}^{ B} { \frac{1}{x}}\hspace{0.1cm}{\rm d}x = {\rm ln}\hspace{0.15cm}\frac{B}{A}\hspace{0.05cm} .$$

Questions

1

Berechnen Sie die Laplace–Transformierte  $X_{\rm L}(p)$  der kausalen Cosinusfunktion  $x(t)$.  Wie lautet die richtige Lösung?

	$X_{\rm L}(p) = \omega_0/(p^2 + \omega_0^2)$.
	$X_{\rm L}(p) = p/(p^2 + \omega_0^2)$.
	$X_{\rm L}(p) = 1/(p^2 + \omega_0^2)$.

2

Berechnen Sie die Laplace–Transformierte  $Y_{\rm L}(p)$  der kausalen Sinusfunktion  $y(t)$.  Wie lautet die richtige Lösung?

	$Y_{\rm L}(p) = \omega_0/(p^2 + \omega_0^2)$.
	$Y_{\rm L}(p) = p/(p^2 + \omega_0^2)$.
	$Y_{\rm L}(p) = 1/(p^2 + \omega_0^2)$.

3

Berechnen Sie die Laplace–Transformierte  $Z_{\rm L}(p)$  der kausalen  $\rm si$–Funktion  $z(t)$.  Wie lautet die richtige Lösung?

	$Z_{\rm L}(p)$ hat einen rechteckförmigen Verlauf.
	$Z_{\rm L}(p) = \arctan (1/p)$.
	$Z_{\rm L}(p) = T/\pi \cdot \arctan (\pi/(pT))$.

4

Berechnen Sie den Realteil des Spektrums  $Z(f)$.  Welche Aussagen treffen zu?

	${\rm Re}\big[Z(f)\big]$ hat einen rechteckförmigen Verlauf.
	${\rm Re}\big[Z(f)\big]$ ist proportional zu $\ln\; \big|(f \cdot T -0.5)/(f \cdot T +0.5)\big|.$

5

Berechnen Sie den Imaginärteil von  $Z(f)$.  Welche Aussagen treffen zu?

	${\rm Im}\big[Z(f)\big]$  hat einen rechteckförmigen Verlauf.
	${\rm Im}\big[Z(f)\big]$  ist proportional zu  $\ln\; \big|(f \cdot T -0.5)/(f \cdot T +0.5)\big|.$

Solution

Solution

(1)  Richtig ist der Vorschlag 2:

• Entsprechend der Laplace–Definition gilt mit den vorgegebenen Gleichungen:

$$X_{\rm L}(p) = \int_{0}^{ \infty} { x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-p t}}\hspace{0.1cm}{\rm d}t = \int\limits_{0}^{ \infty} { {\rm cos} (\omega_0 \cdot T) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-p t}}\hspace{0.1cm}{\rm d}t = \frac{p}{p^2 + \omega_0^2} \hspace{0.05cm} .$$

• Der Vorschlag 3 scheidet aus, da  $X_{\rm L}(p)$  die Einheit "Sekunde" aufweisen muss (Integral über die Zeit), während  $p$  und  $\omega_0$  jeweils die Einheit "1/s" besitzen.

(2)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 1:

• Hier gilt bei gleicher Vorgehensweise wie in der Teilaufgabe  (1):

$$Y_{\rm L}(p) = \int_{0}^{ \infty} { {\rm sin} (\omega_0 \cdot T) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-p t}}\hspace{0.1cm}{\rm d}t = \frac{\omega_0}{p^2 + \omega_0^2} \hspace{0.05cm} .$$

(3)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 3:

• Die  $p$–Übertragungsfunktion der kausalen  $\rm si$–Funktion lautet mit dem vorne angegebenen Integral:

$$Z_{\rm L}(p) = \int_{0}^{ \infty} { \frac{\sin(\pi \cdot t/T)}{\pi \cdot t/T} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-p t}}\hspace{0.1cm}{\rm d}t = \frac{T}{\pi} \cdot {\rm arctan} \; \frac{\pi}{p\cdot T} \hspace{0.05cm} .$$

• Der Vorschlag 1 gilt nur für die Fouriertransformierte der akausalen  $\rm si$–Funktion.
• Der Vorschlag 2 kann schon allein deshalb nicht stimmen, da hier das Argument der Arcustangens–Funktion dimensionsbehaftet ist.

(4)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 1:

• Aus  $z(t) = s(t) \cdot \gamma(t)$  folgt mit dem Faltungssatz:

$$Z(f) = S(f) \star {\it \Gamma}(f) = {1}/{2} \cdot S(f) \star \delta (f) + S(f) \star \frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f}\hspace{0.05cm}.$$

• Da  $S(f)$  reell ist, ergibt sich der Realteil von  $Z(f)$  als der erste Term dieser Gleichung:

$${\rm Re}[ Z(f)] = {1}/{2} \cdot S(f) \star \delta (f) = {1}/{2} \cdot S(f) \hspace{0.05cm}.$$

• Der Realteil von  $Z(f)$  hat somit die gleiche Rechteckform wie  $S(f)$, ist aber nur halb so hoch:

$${\rm Re}\{ Z(f)\}= \left\{ \begin{array}{c} T/2 \\ 0 \end{array} \right. \begin{array}{c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \end{array} \begin{array}{*{20}c} { |f|< 1/(2T)\hspace{0.05cm},} \\ { |f|> 1/(2T)\hspace{0.05cm},} \end{array} \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\underline{{\rm Vorschlag \hspace{0.15cm} 1}}.$$

(5)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:

• Mit dem Ergebnis der letzten Teilaufgabe folgt für den Imaginärteil:

$${\rm Im}\{ Z(f)\} = S(f) \star \frac{(-1)}{{\rm j} \cdot 2\pi f} \hspace{0.05cm}.$$

• Für hinreichend große Frequenzen  $f \ge 1/(2T)$  liefert dieses Faltungsintegral:

$${\rm Im}\{ Z(f)\} = -T \cdot \int_{f- 1/(2T)}^{ f+ 1/(2T)} { \frac{1}{2\pi x}}\hspace{0.1cm}{\rm d}x = \frac{T}{2\pi } \cdot {\rm ln}\hspace{0.15cm}\left |\frac{f- 1/(2T)}{f+ 1/(2T)}\right | \hspace{0.05cm} \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\underline{{\rm Vorschlag \hspace{0.15cm} 2}}.$$