Modulation Methods/Double-Sideband Amplitude Modulation

1. Modulation Methods
2. Amplitude Modulation and Demodulation
3. Double-Sideband Amplitude Modulation

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# OVERVIEW OF SECOND MAIN CHAPTER #

$\Rightarrow \hspace{0.5cm}\text{We are just beginning the English translation of this chapter.}$

After some general explanations of modulation and demodulation, a detailed description of   amplitude modulation  and their associated  demodulators. This chapter deals in detail with:

• the description and realization of double-sideband amplitude modulation (DSB–AM) in the frequency and time domains,
• the characteristics of a synchronous demodulator and the possible applications of an envelope demodulator,
• the similarities/differences of single-sideband modulation compared to DSB-AM and modified AM methods.

Description in the frequency domain

We consider the following problem: a message signal $q(t)$, whose spectrum  $Q(f)$  is bandlimited to the range  $\pm B_{\rm NF}$  (subscript NF from German "Niederfrequenz" ⇒ low frequency), is to be shifted to a higher frequency range where the channel frequency response $H_{\rm K}(f)$ has favorable characteristics, using a harmonic oscillation of frequency  $f_{\rm T}$, which we will refer to as the carrier signal $z(t)$ .

Representation of amplitude modulation in the frequency domain

The diagram illustrates the task, with the following simplifying assumptions:

• The spectrum  $Q(f)$  drawn here is schematic.  It states that only spectral components in the range  $|f| ≤ B_{\rm NF}$  are included in  $q(t)$ . $Q(f)$  could also be a line spectrum.
• Let the channel be ideal in a bandwidth range  $B_{\rm K}$  around frequency  $f_{\rm M}$ , that is, let  $H_{\rm K}(f) = 1$  for  $|f - f_{\rm M}| ≤ B_{\rm K}/2.$  Noise interference is ignored for now.
• Let the carrier signal be cosine   $($phase  $ϕ_T = 0)$  and have amplitude  $A_{\rm T} = 1$  (without a unit).  Let the carrier frequency  $f_{\rm T}$  be equal to the center frequency of the transmission band.
• Thus, the spectrum of the carrier signal  $z(t) = \cos(ω_{\rm T} · t)$  (plotted in green in the graph) is:

$$Z(f) = {1}/{2} \cdot \delta (f + f_{\rm T})+{1}/{2} \cdot \delta (f - f_{\rm T})\hspace{0.05cm}.$$

Those familiar with the  laws of spectral transformation  and in particular with the  Convolution Theorem  can immediately give a solution for the spectrum  $S(f)$  of the modulator output signal:

$$S(f)= Z(f) \star Q(f) = 1/2 \cdot \delta (f + f_{\rm T})\star Q(f)+1/2 \cdot \delta (f - f_{\rm T})\star Q(f) = 1/2 \cdot Q (f + f_{\rm T})+ 1/2 \cdot Q(f - f_{\rm T}) \hspace{0.05cm}.$$

$\text{Please note:}$  This equation takes into account that the convolution of a shifted Dirac function  $δ(x – x_0)$  with an arbitrary function $f(x)$  yields the   shifted function  $f(x - x_0)$ .

Spectrum of DSB-AM without a carrier

The diagram displays the result. One can identify the following characteristics:

• Due to the system-theoretic approach with positive and negative frequencies, $S(f)$  is composed of two parts around  $\pm f_{\rm T}$ , each of which have the same shape as  $Q(f)$ .
• The factor  $1/2$  results from the carrier amplitude  $A_{\rm T} = 1$.  Thus,  $s(t = 0) = q(t = 0)$, and the integrals over their spectral functions  $S(f)$  and  $Q(f)$  must also be equal.
• The channel bandwidth  $B_{\rm K}$  must be at least twice the signal bandwidth  $B_{\rm NF}$, which gives the name "double-sideband amplitude modulation"(DSB–AM).
• It should be noted that $B_{\rm NF}$ and $B_{\rm K}$  are absolute and  non-equivalent bandwidths.  The latter are defined over rectangles of equal area and are denoted by $Δf_q$  and  $Δf_{\rm K}$  in our tutorial, respectively.
• The Spectral function  $S(f)$  does not include any Dirac-lines at the carrier frequency  $(\pm f_{\rm T})$.  Therefore, this method is also referred to as "DSB-AM without carrier".
• The frequency components above the carrier frequency  $f_{\rm T}$  are called the upper sideband  (USB), and those below  $f_{\rm T}$  are the lower sideband  (LSB).

Description in the time domain

Adapting the notation and nomenclature to this problem, the convolution theorem reads:

$$S(f) = Z(f) \star Q(f)\hspace{0.2cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.2cm} s(t) = q(t) \cdot z(t) = q(t) \cdot \cos(\omega_{\rm T}\cdot t + \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm}.$$

This result is still true if the restrictions made on the last page $($real-valued spectrum  $Q(f)$, carrier phase  $ϕ_{\rm T} = 0)$  are removed. In general, this results in a complex-valued spectral function  $S(f)$.

Models of DSB–AM without a carrier

According to this equation, two models can be given for double-sideband amplitude modulation. These are to be interpreted as follows:

• The first model directly describes the relationship given above, where here the carrier  $z(t) = \cos(ω_{\rm T}t + ϕ_{\rm T})$  is applied without a unit.
• The second model is more in line with the physical conditions, after each signal also has a unit. If  $q(t)$  and  $z(t)$  are voltages respectively, the model still needs to provide a scaling with the modulator constant  $K_{\rm AM}$  (unitso that the output signal  $s(t)$  also represents a voltage waveform.
• If we set  $K_{\rm AM} = 1/A_{\rm T}$, both models are the same.  In the following, we will always assume the simpler model.

Signal waveforms in DSB–AM without a carrier

$\text{Example 1:}$  The graph shows in red the transmitted signals  $s(t)$  for DSB–AM with two different carrier frequencies. 

• The source signal  $q(t)$  with bandwidth  $B_{\rm NF} = 4\text{ kHz}$, which is the same in both cases, is drawn in solid blue and the signal  $-q(t)$&nbsp is dashed.
• The carrier signal  $z(t)$  has a cosine shape in both cases.
• In the upper image, the carrier frequency is  $f_{\rm T} = 20\text{ kHz}$  and the lower image  $f_{\rm T} = 100\text{ kHz}$.

Ring modulator

One possibility to realize "double sideband amplitude modulation with carrier suppression" is offered by a so-called ring modulator, also known as double push-pull diode modulator. Below you can see the circuit on the left and a simple functional diagram on the right.

Ring modulator to realize DSB–AM without a carrier

Without claiming to be complete, the principle can be stated as follows:

• Let the amplitude of the harmonic carrier oscillation  $z(t)$  be much larger than the maximum value $q_{\rm max}$  of the message signal $q(t)$.  Thus, all diodes are operated as switches.
• When the half-wave of the carrier is positive  $(z(t) > 0)$  the two magenta diodes conduct while the light green ones block. Thus, without considering losses, $s(t) = q(t)$ holds.
• For a negative half-wave, the light green diodes conduct and the diodes in the longitudinal branches block. As can be seen from the right image,;$s(t) = \ – q(t)$ holds for this lower switch position.
• Due to the operation of this switch, the harmonic oscillation  $z(t)$  can also be replaced by a periodic square wave signal with identical period duration:

$$z_{\rm R}(t) = \left\{ \begin{array}{c} +1 \\ -1 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{10}c} {\rm{for}} \\ {\rm{for}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {z(t) >0,} \\ {z(t) <0.} \\ \end{array}$$

• The modulated signal $s(t)$  is then obtained as the product of the message signal  $q(t)$  and this square wave signal  $z_{\rm R}(t)$, whereas in ideal DSB-AM one multiplies by a cosine signal.
• The carrier  $z(t)$  is not itself included in the signal $s(t)$.  Since this is supplied via the center taps of the transformers, the induced voltages cancel out ("DSB-AM without a carrier").

$\text{Example 2:}$  Now we will explain the mode of operation of a ring modulator using typical signal characteristics.  Let the carrier frequency be  $f_{\rm T} = 10\text{ kHz}$.

Signals to illustrate a ring modulator

• The top graph shows the signals  $q(t)$  and  $-q(t)$  as magenta and light green waveforms respectively.

• The bipolar square wave signal $z_{\rm R}(t)$  is shown in blue dashes, and takes the values  $±1$ .

• The middle chart shows the modulated signal from the ring modulator:

$$s_{\rm RM}(t) = q(t) · z_{\rm R}(t).$$

• For comparison, the conventional DSB-AM signal is shown in the bottom graph:

$$s(t) = q(t) · \cos(ω_{\rm T} · t).$$

One can see significant differences, but these can be compensated for in a simple way:

• The Fourier series representation of the periodic square wave signal $z_{\rm R}(t)$  is:

$$z_{\rm R}(t) = \frac{4}{\pi} \cdot \cos(\omega_{\rm T}\cdot t)-\frac{4}{3\pi} \cdot \cos(3\omega_{\rm T}\cdot t) +\frac{4}{5\pi} \cdot \cos(5\omega_{\rm T}\cdot t)- \text{ ...}$$

• The associated spectral function consists of Dirac lines at  $±f_{\rm T}, ±3f_{\rm T}, ±5f_{\rm T}$, etc.  Convolution with  $Q(f)$  leads to the spectral function (the subscript stands for "ring modulator"):

$$S_{\rm RM}(f) = \frac{2}{\pi} \cdot Q (f \pm f_{\rm T})-\frac{2}{3\pi} \cdot Q (f \pm 3f_{\rm T})+\frac{2}{5\pi} \cdot Q (f \pm 5f_{\rm T}) -\text{ ...} \hspace{0.05cm}$$

• From this, it can be seen that by appropriately band-limiting $($for example, to  $±2f_{\rm T})$ and attenuating with  $π/4 ≈ 0.785$  the familiar DSB-AM spectrum can be obtained:

$$S(f) = {1}/{2} \cdot Q (f \pm f_{\rm T})\hspace{0.05cm}.$$

Here it must be taken into account that in the above reasoning,  $B_{\rm NF} \ll f_{\rm T}$  can always be assumed.

AM signals and spectra with a harmonic input signal

Now we will consider a special case, which is important for testing purposes, where not only the carrier signal  $z(t)$ is a harmonic oscillation, but also the message signal to be modulated  $q(t)$ :

$$\begin{align*}q(t) & = A_{\rm N} \cdot \cos(\omega_{\rm N} \cdot t + \phi_{\rm N})\hspace{0.05cm}, \\ \\ z(t) & = \hspace{0.15cm}1 \hspace{0.13cm} \cdot \hspace{0.1cm}\cos(\omega_{\rm T} \cdot t + \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm}.\end{align*}$$

Please note:   since we are describing modulation processes, the phase term is used with a plus sign in the above equations.

• Thus,  $ϕ_{\rm N} = - 90^\circ$  represents a sinusoidal input signal  $q(t)$  and  $ϕ_{\rm T} = - 90^\circ$  denotes a sinusoidal carrier signal $z(t)$.
• Therefore, the equation for the modulated signal is:

$$s(t) = q(t) \cdot z(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(\omega_{\rm N} t + \phi_{\rm N})\cdot \cos(\omega_{\rm T} t + \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm}.$$

This equation can be transformed using the trigonometric addition theorem:

$$s(t) = A_{\rm N}/{2} \cdot \cos \big [(\omega_{\rm T} +\omega_{\rm N})\cdot t + \phi_{\rm T}+ \phi_{\rm N} \big ] + A_{\rm N}/{2} \cdot \cos \big [(\omega_{\rm T} -\omega_{\rm N})\cdot t + \phi_{\rm T}- \phi_{\rm N} \big ]\hspace{0.05cm}.$$

• For cosinusoidal signals  $(ϕ_{\rm T} = ϕ_{\rm N} = 0)$ , this equation simplifies to

$$s(t) = {A_{\rm N}}/{2} \cdot \cos\big[(\omega_{\rm T}+\omega_{\rm N})\cdot t\big] + {A_{\rm N}}/{2} \cdot \cos\big[(\omega_{\rm T} -\omega_{\rm N})\cdot t \big]\hspace{0.05cm}.$$

• Using a Fourier transform we arrive at the spectral function:

$$S(f) = {A_{\rm N}}/{4} \cdot \big[\delta ( f - f_{\rm T} - f_{\rm N})+\delta ( f + f_{\rm T} + f_{\rm N})\big)] + {A_{\rm N}}/{4} \cdot \big[ \delta ( f - f_{\rm T}+ f_{\rm N})+\delta ( f+ f_{\rm T} - f_{\rm N} ) \big]\hspace{0.05cm}.$$

This result, which would also have been arrived at via convolution, states:

• The spectrum consists of four Dirac lines at frequencies  $±(f_{\rm T} + f_{\rm N})$  and  $±(f_{\rm T} - f_{\rm N})$, where in both bracket expressions the first Dirac function indicates the one for positive frequencies.
• The weights of all Dirac functions are equal and each is  $A_{\rm N}/4$.  The sum of these weights - that is, the integral over $S(f)$ – is equal to the signal value  $s(t = 0) = A_{\rm N}$.
• The Dirac lines remain for  $ϕ_{\rm T} ≠ 0$  and/or  $ϕ_{\rm N} ≠ 0$  at the same frequencies.  However, complex rotation factors must then be added to the weights  $A_{\rm N}/4$ .

$\text{Example 3:}$  The following diagram shows the spectral functions  $S(f)$  for different values of  $ϕ_{\rm T}$  and  $ϕ_{\rm N}$, respectively.  The other parameters are assumed to be  $f_{\rm T} = 50\text{ kHz}$,  $f_{\rm N} = 10\text{ kHz}$  and  $A_{\rm N} = 4\text{ V}$ . Thus, the magnitudes of all Dirac lines are $A_{\rm N}/4 = 1\text{ V}$.

Typical spectra for DSB-AM

• The upper left image shows the case just discussed: both the carrier and the message signal are cosine. Thus, the amplitude modulated signal  $s(t)$  s composed of two cosine oscillations with  $ω_{60} = 2 π · 60\text{ kHz}$  and  $ω_{40} = 2 π · 40\text{ kHz}$ .

• For the other three constellations, at least one of the signals  $q(t)$  or  $z(t)$  sinusförmig, is sinusoidal, so that  $s(0) = 0$  always holds.  Thus, for these spectra, the sum of the four impulse weights each add up to zero.

• The bottom right image depicts  $s(t) = A_{\rm N} · \sin(ω_{\rm N} t) · \sin(ω_{\rm T}t)$.  Multiplying two odd functions yields the even function  $s(t)$  and thus a real spectrum  $S(f)$.  In contrast, the other two constellations each result in imaginary spectral functions.

Double-Sideband Amplitude Modulation with carrier

The following diagram shows how to get from "DSB-AM without a carrier" to the better known variant "DSB-AM with carrier". This has the advantage that the demodulator can be realized much more easily and cheaply by a simple manipulation at the transmitter.

MModels of DSB–AM with carrier

The diagram is to be interpreted as follows:

• The top plot shows the physical model of the "DSB-AM with carrier", with changes from the "DSB-AM without a carrier" highlighted in red.
• The carrier signal  $z(t) = A_{\rm T} · \cos(ω_{\rm T} · t)$  is added to the signal  $s(t)$ , which causes two additional Dirac functions in the spectrum  $±f_{\rm T} , each with impulse weight  $A_{\rm T}/2$. *Durch Addition des Gleichsignals  $A_{\rm T}$  zum Quellensignal und anschließende Multiplikation mit dem dimensionslosen Träger  $z(t)$  entsprechend der unteren Skizze ergibt sich das gleiche Signal  $s(t)$  und das gleiche Spektrum  $S(f)$  wie oben. *Die zweite Darstellung ist also mit dem oberen Modell äquivalent.  Die Trägerphase ist in beiden Fällen nur aus Gründen einer vereinfachten Darstellung  $ϕ_{\rm T} = 0$  gesetzt. <div class="greybox"> $\text{Beispiel 4:}$  Die  ''Zweiseitenband-Amplitudenmodulation mit Träger''  findet auch heutzutage noch ihre Hauptanwendung in der Rundfunkübertragung auf *Langwelle    $($Frequenzbereich  $\text{30 kHz}$ ... $\text{300 kHz})$, *Mittelwelle  $($Frequenzbereich  $\text{300 kHz}$ ... $\text{3 MHz})$, *Kurzwelle    $($Frequenzbereich  $\text{3 MHz}$ ... $\text{30 MHz})$. Diese Frequenzen werden jedoch mehr und mehr für digitale Anwendungen freigegeben, zum Beispiel für  ''Digital Video Broadcast''  (DVB). Eine Anwendung von  ''Zweiseitenband-Amplitudenmodulation ohne Träger''  gibt es beispielsweise beim UKW-Stereo-Rundfunk: *Hier wird das Differenzsignal zwischen den beiden Stereokanälen bei  $\text{39 kHz}$  trägerlos amplitudenmoduliert. *Dann werden das Summensignal der beiden Kanäle  $($jeweils im Bereich  $\text{30 Hz}$ ... $\text{15 kHz})$, ein Hilfsträger bei  $\text{19 kHz}$  sowie das Differenzsignal zusammengefasst und frequenzmoduliert. <div style="clear:both;"> </div> </div> <div class="greybox"> $\text{Beispiel 5:}$  Die folgenden Signalverläufe sollen das Prinzip der „ZSB–AM mit Träger” weiter verdeutlichen. [[File:EN_Mod_T_2_1_S5b_v2.png|right|frame|Signalverläufe bei der ZSB–AM mit Träger]] <br> *Oben sehen Sie einen Ausschnitt des auf Frequenzen  $\vert f \vert \le 4\text{ kHz}$  begrenzten Quellensignal  $q(t)$. *$s(t)$  ergibt sich, wenn man zu  $q(t)$  den Gleichanteil  $A_{\rm T}$  addiert und die Signalsumme mit dem Trägersignal  $z(t)$  der Frequenz  $f_{\rm T} = 100\text{ kHz}$  multipliziert. *Unten ist zum Vergleich das Sendesignal der „ZSB–AM ohne Träger” dargestellt. <br clear="all"> Ein Vergleich dieser Signalverläufe zeigt: *Durch die Zusetzung des Gleichanteils  $A_{\rm T}$  wurde erreicht, dass nun das Nachrichtensignal  $q(t)$  in der Hüllkurve von  $s(t)$  zu erkennen ist. *Dadurch kann die  [[Modulation_Methods/Hüllkurvendemodulation|Hüllkurvendemodulation]]  angewandt werden, die einfacher und billiger zu realisieren ist als die kohärente  [[Modulation_Methods/Synchrondemodulation|Synchrondemodulation]]. *Voraussetzung für die Anwendung des Hüllkurvendemodulators ist aber ein Modulationsgrad  $m <1$.  Dieser ist wie folgt definiert: :'"`UNIQ-MathJax15-QINU`"' *Der Vorteil eines einfacheren Demodulators muss aber durch eine deutlich höhere Sendeleistung erkauft werden, da der Leistungsbeitrag des Trägers nicht zur Demodulation genutzt werden kann. *Weiter ist zu darauf zu achten, dass das Quellensignal keinen Gleichanteil beinhaltet, da dieser durch den Träger überdeckt würde.  Bei Sprach– und Musiksignalen ist dies allerdings keine große Einschränkung. <div style="clear:both;"> </div> </div> =='"`UNIQ--h-6--QINU`"'Beschreibung der ZSB-AM durch das analytische Signal== <br> [[File:Mod_T_2_1_S6_version2.png|right|frame|Spektrum des analytischen Signals in zwei verschiedenen Darstellungsformen]] Im weiteren Verlauf wird zur Vereinfachung von Grafiken meist das Spektrum  $S_+(f)$  des  [[Modulation_Methods/Allgemeines_Modell_der_Modulation#Beschreibung_des_physikalischen_Signals_mit_Hilfe_des_analytischen_Signals|analytischen Signals]]  anstelle des tatsächlichen, physikalischen Spektrums  $S(f)$  angegeben.  Beispielhaft betrachten wir hier eine  „ZSB–AM mit Träger”  und folgende Signale: :'"`UNIQ-MathJax16-QINU`"' Dann lautet das dazugehörige analytische Signal: :'"`UNIQ-MathJax17-QINU`"' Die zugehörige Spektralfunktion  $S_+(f)$  besteht aus drei Diraclinien mit jeweils komplexen Gewichten entsprechend der Grafik: *Die linke Skizze zeigt den Betrag  $|S_+(f)|$, wobei  $A_{\rm T}$  das Gewicht des Trägers angibt und  $A_{\rm N}/2$  die Gewichte von  '''OSB'''  (oberes Seitenband)  und  '''USB'''  (unteres Seitenband). *In Klammern stehen die auf  $A_{\rm T}$  normierten Werte.  Da hier  $q_{\rm max} = A_{\rm N}$  gilt, erhält man mit dem Modulationsgrad  $m = A_{\rm N}/A_{\rm T}$  als normierte Gewichte von oberem und unterem Seitenband jeweils  $m/2$. *Die rechte Skizze gibt einen Blick in Richtung der Frequenzachse und zeigt die Phasenwinkel von Träger  $(ϕ_{\rm T})$, USB  $(ϕ_{\rm T} – ϕ_{\rm N})$  und OSB  $(ϕ_{\rm T} + ϕ_{\rm N})$. ==Amplitudenmodulation durch quadratische Kennlinie== <br> Nichtlinearitäten sind in der Nachrichtentechnik meist unerwünscht und störend.  Wie im Kapitel  [[Linear_and_Time_Invariant_Systems/Nichtlineare_Verzerrungen|Nichtlineare Verzerrungen]]  des Buches „Lineare zeitinvariante Systeme” dargelegt, führen sie dazu, dass *das Superpositionsprinzip nicht mehr anwendbar ist, *das Übertragungsverhalten von der Größe des Eingangssignals abhängt,  und *die Verzerrungen von nichtlinearer Art und damit irreversibel sind. Eine Nichtlinearität der allgemeinen Form :'"`UNIQ-MathJax18-QINU`"' kann aber auch zur Realisierung einer ZSB–AM genutzt werden.  Unter der Voraussetzung, dass *nur die Koeffizienten  $c_1$  und  $c_2$  vorhanden sind, und *das Eingangssignal  $x(t) = q(t) + z(t)$  angelegt wird, erhält man für das Ausgangssignal der Nichtlinearität: :'"`UNIQ-MathJax19-QINU`"' Der erste, der dritte und der letzte Anteil liegen – spektral gesehen – bei  $| f | ≤ 2 · B_{\rm NF}$  bzw.  $| f | = 2 · f_{\rm T}$. Entfernt man diese Signalanteile durch einen Bandpass und berücksichtigt  $z(t) = A_{\rm T} · \cos(ω_{\rm T} · t)$, so erhält man die für  „ZSB–AM mit Träger”  typische Gleichung  <br>(nur noch der zweite und der vierte Term): :'"`UNIQ-MathJax20-QINU`"' Der Modulationsgrad ist bei dieser Realisierungsform durch die Koeffiziente  $c_1$  und  $c_2$  veränderbar: :'"`UNIQ-MathJax21-QINU`"' Eine Diode und der Feldeffekttransistor besitzen mit guter Näherung eine solche quadratische Kennlinie und können zur Realisierung einer ZSB–AM genutzt werden.  Kubische Anteile  $(c_3 ≠ 0)$  und Nichtlinearitäten höherer Ordnung führen allerdings zu (großen) nichtlinearen Verzerrungen.

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 2.1: ZSB-AM mit Cosinus? Oder mit Sinus?

Aufgabe 2.1Z: ZSB-AM ohne/mit Träger

Aufgabe 2.2: Modulationsgrad

Aufgabe 2.2Z: Leistungsbetrachtung

Aufgabe 2.3: ZSB–AM–Realisierung

Aufgabe 2.3Z: ZSB durch Nichtlinearität