Aufgaben:Exercise 4.12Z: 4-QAM Systems again

• Return to book

[[File:P_ID1724__Mod_Z_4_11.png|right|frame|Phase diagrams for 4–QAM, ideal and with degradations]

Graph  $\rm (A)$  shows the phase diagram of the 4-QAM after the matched filter, where an optimal realization form was chosen in the case of AWGN noise under the constraint of "peak limiting":

• rectangular fundamental transmision pulse of symbol duration  $T$,
• rectangular impulse response of the matched filter of the same width  $T$.

All phase diagrams presented here - both  $\rm (A)$  and  $\rm (B)$  and  $\rm (C)$  - refer to the detection time points only. Thus, the transitions between the individual discrete-time points are not plotted in this phase diagram.

• An AWGN channel with  $10 · \lg E_{\rm B}/N_0 = 9 \ \rm dB$  is present.
• Accordingly, for the bit error probability of the first system considered  $\rm (A)$ :

$$p_{\rm B} = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right )\hspace{0.05cm}.$$

Phase diagrams  $\rm (B)$  and  $\rm (C)$  belong to two systems where the 4-QAM was not optimally realized. AWGN noise with  $10 · \lg E_{\rm B}/N_0 = 9 \ \rm dB$  is also assumed in each of these.

Hints:

• This exercise belongs to the chapter  Quadrature Amplitude Modulation.
• Particular reference is made to the page  Phase offset between transmitter and receiver in the book "Digital Signal Transmission".
• Causes and Effects of impulse interference are explained in the  section with the same name  of the book "Digital Signal Transmission".
• Die Kreuze in den Grafiken markieren mögliche Punkte in den Phasendiagrammen, wenn kein AWGN–Rauschen vorhanden wäre.
• Die Punktwolken aufgrund des AWGN–Rauschens haben alle gleichen Durchmesser. Die rote Wolke erscheint nur deshalb etwas kleiner als die anderen, da "Rot" auf "Schwarz" schlechter zu erkennen ist.

• Als eine hinreichend gute Näherung für das komplementäre Gaußsche Fehlerintegral können Sie verwenden:

$${\rm erfc}(x) \approx \frac{1}{\sqrt{\pi}\cdot x} \cdot {\rm e}^{-x^2}.$$

Fragebogen

1

Berechnen Sie mit der angegebenen Näherung die Bitfehlerwahrscheinlichkeit von System  $\rm (A)$.

$p_{\rm B} \ = \ $ $\ \cdot 10^{-5}$

2

Welche Eigenschaften weist das System  $\rm (B)$  auf?

	Es besteht ein Phasenversatz zwischen Sender und Empfänger.
	Das Empfangsfilter führt zu Impulsinterferenzen.
	Es ergibt sich keine Degradation gegenüber System  $\rm (A)$.

3

Welche Eigenschaften weist das System  $\rm (C)$  auf?

	Es besteht ein Phasenversatz zwischen Sender und Empfänger.
	Das Empfangsfilter führt zu Impulsinterferenzen.
	Es ergibt sich keine Degradation gegenüber System  $\rm (A)$.

4

Welche Aussagen sind bezüglich den Fehlerwahrscheinlichkeiten richtig?

	Alle drei Systeme weisen die gleiche Bitfehlerwahrscheinlichkeit.
	Die Fehlerwahrscheinlichkeit von System  $\rm (A)$  ist am kleinsten.
	Das System  $\rm (B)$  besitzt eine größere Bitfehlerwahrscheinlichkeit als das System  $\rm (C)$.

Musterlösung

Solution

(1)  Aus der Angabe  $10 · \lg E_{\rm B}/N_0 = 9 \ \rm dB$  folgt   ${E_{\rm B}}/{N_0} = 10^{0.9}\approx 7.95 \hspace{0.05cm}.$ 

• Mit der angegebenen Näherung gilt weiter:

$$p_{\rm B} = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) \approx \frac{1}{2 \cdot\sqrt{\pi \cdot{E_{\rm B}}/{N_0}} } \cdot {\rm e}^{-{E_{\rm B}}/{N_0}} = {1}/{2 \cdot\sqrt{7.95 \cdot \pi }} \cdot {\rm e}^{-7.95}\approx \hspace{0.15cm}\underline {3.5 \cdot 10^{-5}\hspace{0.05cm}}.$$

• Der exakte Wert  $p_{\rm B}\hspace{0.15cm}\underline { = 3.3 · 10^{–5}}$  ist nur geringfügig kleiner.

(2)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 1:

• Aufgrund eines Phasenversatzes um  $Δϕ_{\rm T} = 30^\circ$  wurde das Phasendiagramm gedreht, was zu einer Degradation führt.
• Die beiden Komponenten  $\rm I$  und  $\rm Q$  beeinflussen sich zwar gegenseitig, es gibt aber keine Impulsinterferenzen wie bei System  $\rm (C)$.
• Ein "Nyquistsystem" führt niemals zu Impulsinterferenzen.

(3)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:

• Insbesondere an den jeweils neun Kreuzen in jedem Quadranten des Phasendiagramms  $\rm (C)$, die den rauschfreien Fall markieren, erkennt man den Einfluss von Impulsinterferenzen.
• Anstelle des optimalen Empfangsfilters für rechteckförmigem Sendegrundimpuls  $g_s(t)$   ⇒   rechteckförmige Impulsantwort  $h_{\rm E}(t)$  wurde hier ein  Gaußtiefpass  mit der (normierten) Grenzfrequenz  $f_{\rm G} · T = 0.6$  verwendet.
• Dieser bewirkt Impulsinterferenzen.  Auch ohne Rauschen gibt es in jedem Quadranten neun Kreuze, die auf je einen Vor– und Nachläufer pro Komponente hinweisen.

(4)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:

• Die Systeme  $\rm (B)$  und  $\rm (C)$  sind nicht optimal.  Daraus ist bereits ersichtlich, dass die Aussage 1 nicht zutrifft.
• Dagegen ist die Aussage 2 richtig.  Jedes 4–QAM–System, das dem Matched–Filter–Prinzip folgt und zusätzlich die erste Nyquistbedingung erfüllt, besitzt die vorne angegebene Fehlerwahrscheinlichkeit

$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ).$$

• Die so genannte „Wurzel–Nyquist–Konfiguration”, die zum Beispiel in der Aufgabe 4.12 behandelt wurde, hat somit die genau gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit wie das System  $\rm (A)$  und zu den Detektionszeitpunkten auch das gleiche Phasendiagramm.  Die Übergänge zwischen den einzelnen Punkten sind jedoch unterschiedlich.
• Auch die dritte Aussage ist zutreffend.  Man erkennt bereits aus dem Phasendiagramm von System  $\rm (B)$  Fehlentscheidungen und zwar immer dann, wenn Punkte farblich nicht zu den Quadranten passen.

Die Fehlerwahrscheinlichkeiten von System  $\rm (B)$  und System  $\rm (C)$  werden im Buch „Digitalsignalübertragung” hergeleitet. Die Ergebnisse einer Systemsimulation bestätigen die obigen Aussagen:

• System  $\rm (A)$:     $p_{\rm B} ≈ 3.3 · 10^{–5}$ (siehe Teilaufgabe 1),
• System  $\rm (B)$:     $p_{\rm B} ≈ 3.5 · 10^{–2}$,
• System  $\rm (C)$:     $p_{\rm B} ≈ 2.4 · 10^{–4}$.