Aufgaben:Exercise 3.8Z: Optimal Detection Time for DFE

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Tabelle der Grundimpulswerte

Wir betrachten wie in der  Aufgabe 3.8  das bipolare Binärsystem mit Entscheidungsrückkopplung. Im Englischen bezeichnet man diese Konstellation als Decision Feedback Equalization (DFE).

Der vorentzerrte Grundimpuls  $g_d(t)$  am Eingang der DFE entspricht der Rechteckantwort eines Gaußtiefpasses mit der Grenzfrequenz  $f_{\rm G} \cdot T = 0.25$.

Bei der idealen DFE wird ein Kompensationsimpuls  $g_w(t)$  gebildet, der für alle Zeiten  $t ≥ T_{\rm D} + T_{\rm V}$  genau gleich dem Eingangsimpuls  $g_d(t)$  ist, so dass für den korrigierten Grundimpuls gilt:

$$g_k(t) \ = \ g_d(t) - g_w(t) = \ \left\{ \begin{array}{c} g_d(t) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}}\\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array} \begin{array}{*{20}c} t < T_{\rm D} + T_{\rm V}, \\ t \ge T_{\rm D} + T_{\rm V}, \\ \end{array}$$

Hierbei bezeichnet  $T_{\rm D}$  den Detektionszeitpunkt, der eine optimierbare Systemgröße darstellt. $T_{\rm D} = 0$  bedeutet eine Symboldetektion in Impulsmitte.

• Bei einem System mit DFE ist jedoch  $g_k(t)$  stark unsymmetrisch, so dass ein Detektionszeitpunkt  $T_{\rm D} < 0$  günstiger ist.
• Die Verzögerungszeit  $T_{\rm V} = T/2$  gibt an, dass die DFE erst eine halbe Symboldauer nach der Detektion wirksam wird.
• Zur Lösung dieser Aufgabe ist  $T_{\rm V}$  allerdings nicht relevant.

Eine aufwandsgünstige Realisierung der DFE ist mit einem Laufzeitfilter möglich, wobei die Filterordnung bei dem gegebenen Grundimpuls mindestens  $N = 3$  betragen muss. Die Filterkoeffizienten sind dabei wie folgt zu wählen:

$$k_1 = g_d(T_{\rm D} + T),\hspace{0.2cm}k_2 = g_d(T_{\rm D} + 2T),\hspace{0.2cm}k_3 = g_d(T_{\rm D} + 3T) \hspace{0.05cm}.$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Entscheidungsrückkopplung.

• Beachten Sie auch, dass die Entscheidungsrückkopplung nicht mit einer Erhöhung der Rauschleistung verbunden ist, so dass eine Vergrößerung der (halben) Augenöffnung um den Faktor  $K$  gleichzeitig einen Störabstandsgewinn von  $20 \cdot {\rm lg} \, K$  zur Folge hat.
• Der vorentzerrte Grundimpuls  $g_d(t)$  am Eingang der DFE entspricht der Rechteckantwort eines Gaußtiefpasses mit der Grenzfrequenz  $f_{\rm G} = 0.25/T$.
• In der Tabelle sind die auf  $s_0$  normierten Abtastwerte von  $g_d(t)$  angegeben. Auf der Angabenseite zu  Aufgabe 3.8  ist  $g_d(t)$  skizziert.

Fragebogen

1

Berechnen Sie die halbe Augenöffnung für  $T_{\rm D} = 0$  und ideale DFE.

$100\% \ {\rm DFE} \text{:} \hspace{0.2cm} \ddot{o}(T_{\rm D} = 0)/(2s_0) \ = \ $

2

Wie müssen hierzu die Koeffizienten des Laufzeitfilters eingestellt werden?

$k_1\ = \ $

$k_2\ = \ $

$k_3\ = \ $

3

Es gelte weiter  $T_{\rm D} = 0$. Welche (halbe) Augenöffnung ergibt sich, wenn die DFE die Nachläufer nur zu  $50 \%$  kompensiert?

$50\% \ {\rm DFE} \text{:} \hspace{0.2cm} \ddot{o}(T_{\rm D} = 0)/(2s_0)\ = \ $

4

Bestimmen Sie den optimalen Detektionszeitpunkt und die Augenöffnung bei idealer DFE.

$T_{\rm D, \ opt}/T\ = \ $

$100\% \ {\rm DFE} \text{:} \hspace{0.2cm} \ddot{o}(T_\text{D, opt})/(2s_0) \ = \ $

5

Wie müssen hierzu die Koeffizienten des Laufzeitfilters eingestellt werden?

$k_1\ = \ $

$k_2\ = \ $

$k_3\ = \ $

6

Wie groß ist die (halbe) Augenöffnung mit  $T_{\rm D, \ opt}$, wenn die DFE die Nachläufer nur zu  $50 \%$  kompensiert? Interpretieren Sie das Ergebnis.

$50\% \ {\rm DFE} \text{:} \hspace{0.2cm} \ddot{o}(T_\text{D, opt})/(2s_0)\ = \ $

Musterlösung

Solution

(1)  Für den Detektionszeitpunkt $T_{\rm D} = 0$ gilt (wurde bereits in der Aufgabe 3.8 berechnet):

$$\frac{\ddot{o}(T_{\rm D})}{ 2} = g_d(0) - g_d(-T)- g_d(-2T)- g_d(-3T) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{\ddot{o}(T_{\rm D})}{ 2 \cdot s_0} = 0.470 - 0.235 - 0.029 -0.001 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.205} \hspace{0.05cm}.$$

(2)  Die Koeffizienten sind so zu wählen, dass $g_k(t)$ die Nachläufer von $g_d(t)$ vollständig kompensiert:

$$k_1 = g_d( T)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.235},\hspace{0.2cm}k_2 = g_d(2T)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.029},\hspace{0.2cm}k_3 = g_d(3T)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.001} \hspace{0.05cm}.$$

(3)  Ausgehend von dem Ergebnis der Teilaufgabe (1) erhält man:

$$\frac{\ddot{o}(T_{\rm D})}{ 2 \cdot s_0} = 0.205 - 0.5 \cdot (0.235 + 0.029 + 0.001)\hspace{0.15cm}\underline { = 0.072} \hspace{0.05cm}.$$

(4)  Die Optimierung von $T_{\rm D}$ entsprechend den Einträgen in der Tabelle liefert:

$$T_{\rm D}/T = 0: \hspace{0.5cm} \ddot{o}(T_{\rm D})/(2 \, s_0) = 0.470 – 0.235 – 0.029 – 0.001 = 0.205,$$

$$T_{\rm D}/T = \ –0.1: \hspace{0.2cm} \ddot{o}(T_{\rm D})/(2 \, s_0) = 0.466 \ – \ 0.204 \ – \ 0.022 \ – \ 0.001 = 0.240,$$

$$T_{\rm D}/T = \ –0.2: \hspace{0.2cm} \ddot{o}(T_{\rm D})/(2 \, s_0) = 0.456 \ – \ 0.174 \ – \ 0.016 \ – \ 0.001 = 0.266,$$

$$T_{\rm D}/T = \ –0.3: \hspace{0.2cm} \ddot{o}(T_{\rm D})/(2 \, s_0) = 0.441 \ – \ 0.146 \ – \ 0.012 \ – \ 0.001 = 0.283,$$

$${\bf {\it T}_{\rm D}/{\it T} = \ –0.4: \hspace{0.2cm} \ddot{o}({\it T}_{\rm D})/(2 \, {\it s}_0) = 0.420 \ – \ 0.121 \ – \ 0.008 \ – \ 0.001 = 0.291,}$$

$$T_{\rm D}/T = \ –0.5: \hspace{0.2cm} \ddot{o}(T_{\rm D})/(2 \, s_0) = 0.395 \ – \ 0.099 \ – \ 0.006 \ – \ 0.001 = 0.290,$$

$$T_{\rm D}/T = \ –0.6: \hspace{0.2cm} \ddot{o}(T_{\rm D})/(2 \, s_0) = 0.366 \ – \ 0.080 \ – \ 0.004 \ – \ 0.001 = 0.282,$$

• Der optimale Detektionszeitpunkt ist demnach $T_{\rm D, \ opt} \ \underline {= \ –0.4T}$ (wahrscheinlich geringfügig größer).
• Hierfür wurde für die halbe Augenöffnung der maximale Wert $(\underline{0.291})$ ermittelt.

(5)  Mit $T_{\rm D} = \ –0.4 \ T$ lauten die Filterkoeffizienten:

$$k_1 = g_d(0.6 T)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.366},\hspace{0.2cm}k_2 = g_d(1.6T)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.080},\hspace{0.2cm}k_3 = g_d(2.6T)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.004} \hspace{0.05cm}.$$

(6)  Bei gleicher Vorgehensweise wie in der Teilaufgabe (3) erhält man hier:

$$\frac{\ddot{o}(T_{\rm D,\hspace{0.05cm} opt})}{ 2 \cdot s_0} = 0.291 - 0.5 \cdot (0.366 + 0.080 + 0.004) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.066} \hspace{0.05cm}.$$

Die Ergebnisse dieser Aufgabe lassen sich wie folgt zusammenfassen:

• Durch Optimierung des Detektionszeitpunktes wird die Augenöffnung im Idealfall um den Faktor $0.291/0.205 = 1.42$ vergrößert, was dem Störabstandsgewinn von $20 \cdot {\rm lg} \, 1.42 \approx 3 \ \rm dB$ entspricht.
• Funktioniert die DFE aufgrund von Realisierungsungenauigkeiten jedoch nur zu $50\%$, so ergibt sich mit $T_{\rm D} = \ –0.4T$ gegenüber der idealen DFE eine Verschlechterung um den Amplitudenfaktor $0.291/0.066 \approx 4.4$. Für $T_{\rm D} = 0$ ist dieser Faktor mit $2.05/0.072 \approx 3$ deutlich kleiner.
• Es ist sogar so:  Das eigentlich schlechtere System (mit $T_{\rm D} = 0$) ist dem eigentlich besseren System (mit $T_{\rm D} = \ –0.4T$) überlegen, wenn die Entscheidungsrückkopplung nur zu $50\%$ funktioniert. Dann ergibt sich ein Störabstandsverlust von $20 \cdot {\rm lg} \, (0.072/0.066) \approx 0.75 \ \rm dB$.
• Man kann diese Aussagen verallgemeinern:   Je größer die Verbesserung durch Systemoptimierung (hier:  die Optimierung des Detektionszeitpunktes) im Idealfall ist, desto größer ist auch die Verschlechterung bei nichtidealen Bedingungen, z.B. bei toleranzbehafteter Realisierung.