Aufgaben:Exercise 4.12: Calculations for the 16-QAM

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Signal space constellation of 16–QAM

The graphic shows the signal space constellation of the  "quadrature amplitude modulation"  with  $M = 16$  signal space points.

The following should be calculated for this modulation method:

• the average energy per symbol or per bit,
• the mean symbol error probability  $p_{\rm S}$,
• the  "Union Bound"  $p_{\rm UB}$  as upper bound,
• the average bit error probability  $p_{\rm B}$  with Gray coding.

Notes:

• The exercise deals with a partial aspect of the chapter  "Carrier Frequency Systems with Coherent Demodulation.
• The Gray assignment is given in the graphic (red lettering).
• The probability that the upper left symbol is falsified into one of the neighboring symbols is abbreviated to  $p$  (blue arrows in the graph).
• A diagonal falsification  ⇒  two bit falsified (green arrow) is excluded.
• For the AWGN channel, with the complementary Gaussian error integral for this auxiliary variable, the following applies:   $p = {\rm Q} \left ( \sqrt{ { 2E}/{ N_0} }\right )\hspace{0.05cm}.$
• For numerical calculations, use  $E = 1 \ \rm mWs$  and  $p = 0.4\%$.
• The AWGN noise power density  $N_0$  can be calculated approximately from these values:

$$p = {\rm Q} \left ( \sqrt{ { 2E}/{ N_0} }\right ) = 0.004 \hspace{0.1cm}\Rightarrow\hspace{0.1cm}

{ 2E}{ N_0} \approx 2.65^2 \approx 7 \hspace{0.1cm}\Rightarrow\hspace{0.1cm} N_0 = { E}/{ 3.5}\approx 1.4 \cdot 10^{-4}\,{\rm W/Hz}
\hspace{0.05cm}.$$

Questions

1 Let  $E = 1 \ \rm mWs$. What is the average energy per symbol?

$E_{\rm S}\ = \ $ $\ \rm mWs$

2 Wie groß ist die mittlere Energie pro Bit?

$E_{\rm B}\ = \ $ $\ \rm mWs$

3 Geben Sie die (verbesserte) "Union Bound"  $(p_{\rm UB})$  für  $p = 0.4\%$  an.

$p_{\rm UB} \ = \ $ $\ \%$

4 Berechnen Sie die tatsächliche Symbolfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm S} < p_{\rm UB}$.

$p_{\rm S} \ = \ $ $\ \%$

5 Berechnen Sie die tatsächliche Bitfehlerwahrscheinlichkeit bei Graycodierung.

$p_{\rm B} \ = \ $ $\ \%$

Musterlösung

Solution

(1)  Der Quotient $E_{\rm S}/E$ ergibt sich als der mittlere quadratische Abstand der $M = 16$ Signalraumpunkte $\boldsymbol{s}_i$ vom Ursprung.

• Mit der gegebenen Signalraumkonstellation der 16–QAM erhält man:

$$E_{\rm S} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} { E}/{ 16} \cdot \left [ 4 \cdot (1^2 + 1^2) + 8 \cdot (1^2 + 3^2) + 4 \cdot (3^2 + 3^2)\right ]={ E}/{ 16} \cdot \left [ 4 \cdot 2 + 8 \cdot 10 + 4 \cdot 18\right ] = 10 \cdot E = \underline{10 \ {\rm mWs}}

\hspace{0.05cm}.$$

• Zum gleichen Ergebnis kommt man mit der im Theorieteil angegebenen Gleichung

$$E_{\rm S} = \frac{ 2 \cdot (M-1)}{ 3 } \cdot E = \frac{ 2 \cdot 15}{ 3 } \cdot E = 10 E

\hspace{0.05cm}.$$

(2)  Jedes einzelne Symbol stellt vier Binärsymbole dar. Damit ist die mittlere Energie pro Bit.

$$E_{\rm B} = \frac{ E_{\rm S}}{ {\rm log_2} \hspace{0.05cm}(M)} = 2.5 \cdot E = \underline{2.5 \ {\rm mWs}}

\hspace{0.05cm}.$$

Zur Verdeutlichung der 16–QAM–Fehlerwahrscheinlichkeit

(3)  Die Union Bound ist eine obere Schranke für die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit.

• Sie berücksichtigt nur den Übergang zu benachbarten Entscheidungsregionen aufgrund von AWGN–Rauschen.
• Aus der Grafik geht hervor, dass die Ecksymbole (gelb gefüllt) nur zu zwei anderen Symbolen hin verfälscht werden können und die restlichen Randsymbole (grüne Füllung) in drei Richtungen.
• Der "worst case" sind die vier inneren Symbole (mit blauer Füllung) mit jeweils vier Verfälschungsmöglichkeiten. Daraus folgt:

$$p_{\rm S} = {\rm Pr}({\cal{E}}) \le 4 \cdot p = \underline{1.6\%}= p_{\rm UB}

\hspace{0.05cm}.$$

(4)  Zählt man die blauen Pfeile in obiger Grafik, so kommt man auf

$$4 \cdot 2 + 8 \cdot 3 + 4 \cdot 4 = 48.$$

• Die mittlere Symbolfehlerwahrscheinlichkeit ist somit gleich

$$p_{\rm S} = { E}/{ 16} \cdot 48 p = 3p = \underline{1.2\%}

\hspace{0.05cm}.$$

• Zum gleichen Ergebnis kommt man mit der im Theorieteil angegebenen Gleichung

$$p_{\rm S} = 4p \cdot \left [ 1 - { 1}/{ \sqrt{M}} \right ] = 4p \cdot \left [ 1 - { 1}/{ 4} \right ] = 3p

\hspace{0.05cm}.$$

• Beide Gleichungen gelten nur dann exakt, wenn man wie hier diagonale Verfälschungen ausschließt.

(5)  Bei Graycodierung entsprechend der roten Beschriftung in der Grafik bewirkt jeder Symbolfehler genau einen Bitfehler.

• Da aber mit jedem Symbol $M = 4$ Binärsymbole übertragen werden, ist

$$p_{\rm B} = \frac{ p_{\rm S}}{ {\rm log_2} \hspace{0.05cm}(M)}

= \frac{ 1.2\%}{ 4} = \underline{0.3\%}

\hspace{0.05cm}.$$