Aufgaben:Exercise 4.08: Repetition to the Convolutional Codes

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State transition diagram of a non-recursive code

The turbo codes are based on convolutional codes, which are discussed in detail in the chapter  "Basics of Convolutional Coding" .

Starting from the adjacent state transition diagram, essential properties and characteristics of the considered rate $1/2$ convolutional code shall be determined, and we explicitly refer to the following theory pages:

1. "Systematic convolutional codes"
2. "Representation in the state transition diagram"
3. "Definition of the free distance"
4. "GF(2) description forms of a digital filter"
5. "Application of $D$–transformation to rate 1/n convolutional codes."

In the state transition diagram, the state  $S_0$  is always assumed. Two arrows go from each state. The label is "$u_i \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} x_i^{(1)}x_i^{(2)}$". For a systematic code, this holds:

• Das erste Codebit ist identisch mit dem Informationsbit:   $\ x_i^{(1)} = u_i ∈ \{0, \, 1\}$
• Das zweite Codebit ist das Prüfbit (Paritybit):   $\ x_i^{(2)} = p_i ∈ \{0, \, 1\}$.

Hinweise:

• Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel  Grundlegendes zu den Turbocodes.
• In den Fragen zu dieser Aufgabe werden folgende semi–infinite Vektoren verwendet:

• Informationssequenz  $\ \underline{u} = (u_1, \, u_2, \text{ ...})$,
• Paritysequenz  $\ \underline{p} = (p_1, \, p_2, \text{ ...})$,
• Impulsantwort  $\ \underline{g} = (g_1, \, g_2, \text{ ...})$; diese ist gleich der Paritysequenz  $\underline{p}$  für  $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \text{ ...})$.

Fragebogen

1

Wie lautet die Impulsantwort  $\underline{g} $?

	Es gilt  $\underline{g} = (1, \, 1, \,1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \text{ ...})$.
	Es gilt  $\underline{g} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \text{ ...})$.

2

Es sei nun  $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, u_7)$  mit  $u_7 ∈ \{0, \, 1\}$. Welche Aussagen treffen für die Paritysequenz  $\underline{p}$  zu?

	Die ersten sechs Bit der Paritysequenz sind  "$1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1$".
	Mit  $u_7 = 0$  gilt  $p_i = 0$  für $i > 6$.
	Mit  $u_7 = 1$  gilt  $p_i = 0$  für $i > 8$.

3

Wie lautet die  $D$–Übertragungsfunktionsmatrix  $\mathbf{G}(D)$?

	Es gilt  $\mathbf{G}(D) = \big [1, \ 1 + D \big ]$.
	Es gilt  $\mathbf{G}(D) = \big [1, \ 1 + D^2 \big ]$.
	Es gilt  $\mathbf{G}(D) = \big [1 + D^2 \big ]$.

4

Betrachten Sie nun die begrenzte Eingangsfolge  $\underline{u} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 1)$. Welche Aussagen gelten für die dann ebenfalls begrenzte Parityfolge  $\underline{p}$?

	Die ersten acht Bit der Parityfolge sind  "$1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 0$".
	Die ersten acht Bit der Parityfolge sind  "$1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1$".
	Es gilt  $p_i = 0$  für  $i ≥ 9$.

5

Wie groß ist die freie Distanz  $d_{\rm F}$  des betrachteten Faltungsodes?

$d_{\rm F} \ = \ $

Musterlösung

Solution

(1)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:

• Die Impulsantwort $\underline{g}$ ist gleich der Ausgangsfolge $\underline{p}$ für die Eingangsfolge $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \, 0, \text{ ...})$.
• Ausgehend vom Zustand $S_0$ ergeben sich im Zustandsübergangsdiagramm folgende Übergänge:

$$S_0 → S_1 → S_2 → S_0 → S_0 → S_0 → \text{ ...} \hspace{0.6cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} {\rm Impulsantwort} \text{:} \hspace{0.2cm} \underline{g} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0) \, .$$

• Für ein nichtrekursives Filter mit Gedächtnis $m$ gilt $g_i ≡ 0$ für $i > m$. In unserem Beispiel ist $m = 2$.
• Der Lösungsvorschlag 1 gilt dagegen für das rekursive Filter (RSC) entsprechend der Aufgabe 4.9.

(2)  Es sei $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, u_7)$ und $\underline{g} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, ...)$. Dann gilt für die Paritysequenz aufgrund der Linearität:

$$\underline{p} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} (\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0, \hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} u_7\hspace{0.05cm} ) * (\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0 ,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{ ...})= $$

$$\ = \ \hspace{-0.15cm} (\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm}0, \hspace{0.05cm} \text{ ...} \hspace{0.05cm})\hspace{0.05cm}\oplus (\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm}0, \hspace{0.05cm} \text{ ...}\hspace{0.05cm})\hspace{0.05cm}\oplus (\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} u_7,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm}u_7, \hspace{0.05cm} \text{ ...} \hspace{0.05cm}) $$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\underline{p} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} (\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} u_7,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm}u_7, \hspace{0.05cm} \text{ ...} \hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm}.$$

Richtig sind also die Lösungsvorschläge 1 und 2 im Gegensatz zur Antwort 3:

• Für $u_7 = 1$ gilt $p_7 = 1, \ p_8 = 0, \ p_9 = 1$ und $p_i ≡ 0$ für $i > 9$.

(3)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:

• Aus dem Zustandsübergangsdiagramm erkennt man die Codeparameter $k = 1$ und $n = 2$.
• Das heißt: Die Übertragungsfunktionsmatrix $\mathbf{G}(D)$ besteht aus zwei Elementen   ⇒   der Vorschlag 3 ist falsch.
• Die erste Komponente von $\mathbf{G}(D)$ ist tatsächlich 1, da ein systematischer Code vorliegt: $\ \underline{x}^{(1)} ≡ \underline{z}$.
• Die zweite Komponente von $\mathbf{G}(D)$ ist gleich der $D$–Transformierten der Impulsantwort $\underline{g}$, wobei die Dummy–Variable $D$ eine Verzögerung um ein Bit angibt:

$$\underline{g}= (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{ ...}\hspace{0.05cm}) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad G^{(2)}(D) = 1+ D^2\hspace{0.05cm}. $$

Über die Fragestellung hinausgehend betrachten wir hier auch noch die vorliegende Filterstruktur:

Drei Beispiele für Rate–1/2–Faltungscodierer

In der Grafik ist der hier betrachtete Coder als Coder $\rm A$ links dargestellt.

• Dieser ist ebenso wie der Coder $\rm B$ systematisch, und
• basiert im Gegensatz zu Coder $\rm B$ aber auf einem nichtrekursiven Filter.
• Der Coder $\rm C$ hat ebenfalls eine nichtrekursive Struktur, ist aber nicht systematisch.
• Die äquivalente systematische Repräsentation von Coder $\rm C$ ist der Coder $\rm B$.

(4)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:

• Die Aufgabe könnte in gleicher Weise gelöst werden wie die Teilaufgabe (2).
• Wir wählen hier aber zur Abwechslung den Weg über die $D$–Transformation:

$$\underline{u}= (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad U(D) = 1+ D^2 + D^5$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} P(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} U(D) \cdot G(D) = (1+ D^2 + D^5) \cdot (1+ D^2 ) =1+ D^2 + D^5 + D^2 + D^4 + D^7 = 1+ D^4 + D^5 + D^7$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{p}= (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm})\hspace{0.05cm}.$$

(5)  Die freie Distanz $d_{\rm F}$ eines Faltungscoders ist gleich der Anzahl der Bits, durch die sich zwei beliebigen Sequenzen dieses Codes mindestens unterscheiden.

• Gehen wir wie allgemein üblich als Bezugsgröße von der Nullsequenz  $\underline{0} \ \Rightarrow \ S_0 → S_0 → S_0 → S_0 → \ \text{ ...} \ $  aus, so ergibt sich $d_{\rm F}$ gleichzeitig als das minimale Hamming–Gewicht (Anzahl der Einsen) einer zulässigen Codesequenz  $\underline{x} ≠ \underline{0}$.

• Aus dem Zustandsübergangsdiagramm erkennt man, dass die freie Distanz zum Beispiel durch den Pfad

$$ S_0 → S_0 → S_1 → S_2 → S_0 → S_0 → \text{ ...}$$

gekennzeichnet ist, also durch die Codesequenz $00 \hspace{0.1cm} 11 \hspace{0.1cm} 00 \hspace{0.1cm} 01 \hspace{0.1cm} 00 \text{ ...} \ .$

• Dementsprechend gilt für die freie Distanz dieses nichtrekursiven Codes: $\hspace{0.2cm} d_{\rm F} \ \underline{= 3}$.