Exercise 3.7Z: Partial Fraction Decomposition
In der Grafik sind vier Vierpole durch ihre Pol–Nullstellen–Diagramme $H_{\rm L}(p)$ gegeben. Sie alle haben gemein, dass die Anzahl $Z$ der Nullstellen gleich der Anzahl $N$ der Polstellen ist. Der konstante Faktor ist jeweils $K=1$.
Im Sonderfall $Z = N$ kann zur Berechnung der Impulsantwort $h(t)$ der Residuensatz nicht direkt angewendet werden. Vielmehr muss vorher eine Partialbruchzerlegung entsprechend $$H_{\rm L}(p) =1- H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p) \hspace{0.05cm}$$ vorgenommen werden. Für die Impulsantwort gilt dann $$h(t) = \delta(t)- h\hspace{0.03cm}'(t) \hspace{0.05cm},$$ wobei $h'(t)$ die Laplace–Rücktransformierte von $H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)$ angibt, bei der die Bedingung $Z' < N'$ erfüllt ist.
Bei zwei der vier angegebenen Konfigurationen handelt es sich um so genannte Allpässe.
- Darunter versteht man Vierpole, bei denen die Fourier–Spektralfunktion die Bedingung $|H(f)| = 1$ ⇒ $a(f) = 0$ erfüllt.
- In der Zusatzaufgabe 3.4Z ist angegeben, wie die Pole und Nullstelle eines solchen Allpasses angeordnet sein müssen.
Weiterhin soll in dieser Aufgabe die $p$–Übertragungsfunktion $$H_{\rm L}^{(5)}(p) =\frac{p/A}{\left (\sqrt{p/A}+\sqrt{A/p} \right )^2} \hspace{0.05cm}$$ ⇒ „Konfiguration (5)” näher untersucht werden, die bei richtiger Wahl des Parameters $A$ durch eines der vier in der Grafik vorgegebenen Pol–Nullstellen–Diagramme dargestellt werden kann.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Laplace–Rücktransformation.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Fragebogen
Musterlösung
(2) Die Übertragungsfunktion $H_{\rm L}^{(5)}(p)$ wird ebenso durch die Konfiguration (4) beschrieben, wie die nachfolgende Rechnung zeigt:
$$H_{\rm L}^{(5)}(p) \hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm} \frac{p/A}{(\sqrt{p/A}+\sqrt{A/p})^2}
=\frac{p/A}{{p/A}+2+ {A/p}}
= \hspace{0.2cm}\frac{p^2}{p^2 + 2A \cdot p + A^2} = \frac{p^2}{(p+A)^2
}= H_{\rm L}^{(4)}(p)
\hspace{0.05cm}.$$
Die doppelte Nullstelle liegt bei $p_{\rm o} = 0$, der doppelte Pol bei $p_{\rm x} = -A = -2$.
(3) Für die Konfiguration (1) gilt:
$$H_{\rm L}(p) =\frac{p-2}{p+2}=\frac{p+2-4}{p+2}= 1 - \frac{4}{p+2}=1- H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p)
\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p) = \frac{4}{p+2}
\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.15cm}\underline{H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p =0)
=2}
\hspace{0.05cm}.$$
(4) In gleicher Weise ergibt sich für die Konfiguration (2):
$$H_{\rm L}(p) =\frac{(p-2 - {\rm j} \cdot 2)(p-2 + {\rm j} \cdot 2)}{(p+2 - {\rm j} \cdot 2)(p+2 + {\rm j} \cdot 2)}=
\frac{p^2 -4\cdot p +8 }{p^2 +4\cdot p +8}=
\hspace{0.2cm}\frac{p^2 +4\cdot p +8 -8\cdot p}{p^2 +4\cdot p
+8} $$
$$H_{\rm L}(p) =1- \frac{8\cdot p}{p^2 +4\cdot p +8}=1- H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p)
\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p) = 8
\cdot \frac{p}{(p+2 - {\rm j} \cdot 2)(p+2 + {\rm j} \cdot 2)}
\hspace{0.05cm}.$$
Richtig sind die beiden letzten Lösungsvorschläge im Gegensatz zur Aussage 1:
- Während $H_{\rm L}(p)$ zwei konjugiert–komplexe Nullstellen aufweist,
- besitzt $H_{\rm L}'(p)$ nur eine einzige Nullstelle bei $p_{\rm o}' = 0$.
(5) Für die Konfiguration (3) gilt:
$$H_{\rm L}(p) =
\frac{p^2 }{p^2 +4\cdot p +8}=\frac{p^2 +4\cdot p +8 -4\cdot p -8 }{p^2 +4\cdot p +8}
= 1- H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p)$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p) = 4
\cdot \frac{p+2}{(p+2 - {\rm j} \cdot 2)(p+2 + {\rm j} \cdot 2)}
\hspace{0.05cm}.$$
Die Nullstelle von $H_{\rm L}'(p)$ liegt nun bei $p_{\rm o}' = -2$ . Die Konstante ist $K' = 4$ ⇒ richtig ist hier nur die Aussage 2.
(6) Schließlich gilt für die Konfiguration (4): $$H_{\rm L}(p) = \frac{p^2 }{(p+2)^2}=\frac{p^2 +4\cdot p +4 -4\cdot p -4 }{p^2 +4\cdot p +4} = 1- \frac{4\cdot p +4 }{p^2 +4\cdot p +4} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p) = 4 \cdot \frac{p+1}{(p+2)^2} \hspace{0.05cm}.$$ Richtig ist auch hier der Lösungsvorschlag 2. Allgemein lässt sich sagen:
- Durch die Partialbruchzerlegung wird die Anzahl und die Lage der Nullstellen verändert.
- Die Pole von $H_{\rm L}'(p)$ sind dagegen stets identisch mit denen von $H_{\rm L}(p)$.
