Exercise 4.9: Higher-Level Modulation

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Einige Kanalkapazitätskurven

Die Grafik zeigt AWGN–Kanalkapazitätskurven über der Abszisse 10 · lg (E_S/N₀):

• C_Gauß:   Shannonsche Grenzkurve,
• C_BPSK:   gültig für BPSK.

Die beiden weiteren Kurvenverläufe C_rot und C_braun sollen in den Teilaufgaben (c) und (d) analysiert und möglichen Modulationsverfahren zugeordnet werden.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel AWGN–Kanalkapazität bei wertkontinuierlichem Eingang.
• Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Die Kanalkapazität C als Funktion von E_B/N₀.
• Da die Ergebnisse in „bit” angegeben werden sollen, wird in den Gleichungen „log”  ⇒  „log₂” verwendet.
• Die im Fragebogen genannten Modulationsverfahren werden anhand ihrer Signalraumkonstellation beschrieben:

Vorgeschlagene Signalraumkonstellationen

Anmerkungen zur Nomenklatur:

• In der Literatur wird manchmal die BPSK auch mit 2–ASK bezeichnet ⇒ x ∈ X = (+1, –1).
• Dagegen verstehen wir in unserem Lerntutorial LNTwww als ASK den unipolaren Fall x ∈ X = (0, 1).
• Nach unserer Nomenklatur gilt deshalb: C_ASK < C_BPSK.

Dieser Sachverhalt hat aber keinen Einfluss auf die Lösung der vorliegenden Aufgabe.

Fragebogen

1

Welche Gleichung liegt der Shannon–Grenzkurve C_Gauß zugrunde?

	Es gilt CGauß = 1/2 · log2 (1 + ES/N0) = C1 ,
	Es gilt CGauß = 1/2 · log2 (1 + 2ES/N0) = C2 ,
	Es gilt CGauß = log2 (1 + ES/N0) = C3 .

2

Welche Aussagen treffen für die grüne Kurve C_BPSK zu?

	CBPSK kann nicht in geschlossener Form angegeben werden.
	CBPSK ist größer als 0, wenn ES/N0 > 0 vorausgesetzt wird.
	Für ES/N0 < ln (2) ist CBPSK ≡ 0.
	Im gesamten Bereich gilt CBPSK < CGauß.

3

Welche Aussagen treffen für die rote Kurve zu?

	Für die zugehörige Zufallsgröße X gilt MX = |X| = 2.
	Für die zugehörige Zufallsgröße X gilt MX = |X| = 4.
	Crot ist gleichzeitig die Kanalkapazität der 4–ASK.
	Crot ist gleichzeitig die Kanalkapazität der 4–QAM.
	Für alle ES/N0 > 0 liegt Crot zwischen „grün” und „braun”.

4

Welche Aussagen treffen für die braune Kurve zu?

	Für die zugehörige Zufallsgröße X gilt MX = |X| = 8.
	Cbraun ist gleichzeitig die Kanalkapazität der 8–ASK.
	Cbraun ist gleichzeitig die Kanalkapazität der 8–PSK.
	pB ≡ 0 ist mit 8–ASK, R = 2.5 und (ES/N0)dB = 10 dB möglich.
	pB ≡ 0 ist mit 8–ASK, R = 2 und (ES/N0)dB = 10 dB möglich.

Musterlösung

Solution

(1)  Richtig ist der Vorschlag 2, wie die Rechnung für 10 · lg (E_S/N₀) = 15 dB ⇒ E_S/N₀ = 31.62 zeigt:

$$C_2(15\hspace{0.1cm}{\rm dB}) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + 2 \cdot 31.62 ) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 64.25 ) \approx 3\,{\rm bit/Kanalzugriff}\hspace{0.05cm}. $$

Die beiden anderen Lösungsvorschläge liefern folgende Zahlenwerte:

$$C_3(15\hspace{0.1cm}{\rm dB}) \ = \ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + 31.62 ) \approx 5.03\,{\rm bit/Kanalzugriff}\hspace{0.05cm},$$

$$ C_1(15\hspace{0.1cm}{\rm dB}) \ = \ C_3/2 \approx 2.51\,{\rm bit/Kanalzugriff}\hspace{0.05cm}.$$

Der Lösungsvorschlag 3 entspricht dabei dem Fall Zweier unabhängiger Gaußkanäle mit jeweils halber Sendeleistung pro Kanal.

(2)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 2 und 4:

• Würde man E_S durch E_B ersetzen, so wäre auch die Aussage 3 richtig.
• Für E_B/N₀ < ln 2 gilt nämlich C_Gauß ≡ 0 und damit auch C_BPSK ≡ 0.

(3)  Richtig sind die Aussagen 2, 3 und 5:

• Der rote Kurvenzug (C_rot) liegt stets oberhalb von C_BPSK, aber unterhalb von C_braun und der Shannon–Grenzkurve C_Gauß.
• Diese Aussagen gelten auch, wenn für gewisse E_S/N₀–Werte Kurven innerhalb der Zeichengenauigkeit nicht zu unterscheiden sind.
• Aus dem Grenzwert C_rot = 2 bit/Kanalzugriff für E_S/N₀ → ∞ kann auf den Symbolumfang M_X = 4 geschlossen werden.
• Die rote Kurve beschreibt also die 4–ASK. M_X = 2 würde für die BPSK gelten.
• Die 4–QAM führt genau zum gleichen Endwert „2 bit/Kanalzugriff”. Für kleine E_S/N₀–Werte liegt aber die Kanalkapazität C_4–QAM oberhalb der roten Kurve, da C_rot von der Gauß–Grenzkurve C₂ begrenzt wird, C_4–QAM aber von C₃.

Die Bezeichnungen C₂ und C₃ beziehen sich hierbei auf die Teilaufgabe (1).

Kanalkapazitätsgrenzen für
BPSK, 4–ASK und 8–ASK

(4)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 2 und 5:

• Aus dem braunen Kurvenverlauf erkennt man die Richtigkeit der beiden ersten Aussagen.
• Die 8–PSK mit I– und Q–Komponente – also mit K = 2 Dimensionen – wird für kleine E_S/N₀–Werte etwas oberhalb der braunen Kurve liegen   die Antwort 3 ist falsch.

In der Grafik sind auch die beiden 8–ASK–Systeme gemäß den Vorschlägen 4 und 5 als Punkte eingezeichnet.

• Der violette Punkt liegt über der Kurve C_8–ASK. Das heißt: 10 · lg (E_S/N₀) = 10 dB und R = 2.5 reichen nicht aus, um die 8–ASK fehlerfrei decodieren zu können   ⇒   R > C   ⇒   das Kanalcodierungstheorem wird nicht erfüllt   ⇒   die Antwort 4 ist falsch.
• Reduziert man aber die Coderate gemäß dem gelben Punkt bei gleichem 10 · lg (E_S/N₀) = 10 dB auf R = 2 < C_8–ASK, so wird das Kanalcodierungstheorem erfüllt   ⇒   Antwort 5 ist richtig.