Exercise 4.08Z: Error Probability with Three Symbols

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Entscheidungsregionen mit M = 3

Die Grafik zeigt die genau gleiche Signalraumkonstellation wie in der Aufgabe A4.8:

• die $M = 3$ möglichen Sendesignale, nämlich

$$\boldsymbol{ s }_0 = (-1, \hspace{0.1cm}1)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ s }_1 = (1, \hspace{0.1cm}2)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ s }_2 = (2, \hspace{0.1cm}-1)\hspace{0.05cm}.$$

• die $M = 3$ Entscheidungsgrenzen

$$G_{01}: y \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 1.5 - 2 \cdot x\hspace{0.05cm},$$

$$ G_{02}: y \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} -0.75 +1.5 \cdot x\hspace{0.05cm},$$

$$ G_{12}: y \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} x/3\hspace{0.05cm}.$$

Die beiden Achsen des 2D–Signalraums sind hier vereinfachend mit $x$ und $y$ bezeichnet; eigentlich müsste hierfür $\varphi_1(t)/E^{\rm 1/2}$ bzw. $\varphi_2(t)/E^{\rm 1/2}$ geschrieben werden.

Diese Entscheidungsgrenzen sind optimal unter den Voraussetzungen

• gleichwahrscheinliche Symbolwahrscheinlichkeiten
• zirkulär–symmetrische WDF des Rauschens (z.B. AWGN).

In dieser Aufgabe betrachten wir dagegen für die Rausch–WDF eine zweidimensionale Gleichverteilung:

$$\boldsymbol{ p }_{\boldsymbol{ n }} (x,\hspace{0.15cm} y) = \left\{ \begin{array}{c} K\\ 0 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c}{\rm f\ddot{u}r} \hspace{0.15cm}|x| <A, \hspace{0.15cm} |y| <A \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst} \hspace{0.05cm}.\\ \end{array}$$

Ein solches amplitudenbegrenztes Rauschen ist zwar ohne jede praktische Bedeutung. Es ermöglicht jedoch eine Fehlerwahrscheinlichkeitsberechnung ohne umfangreiche Integrale, aus der das Prinzip der Vorgehensweise erkennbar wird.

Hinweis:

• Die Aufgabe gehört zum Themenkomplex des Kapitels Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit.

Fragebogen

1

Welchen Wert besitzt die Konstante $K$ für $A = 0.75$?

$\boldsymbol{K}$ =

2

Welche Symbolfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich mit $A = 0.75$?

$A = 0.75 \text{:} \hspace{0.2cm} p_{\rm S}$ =

3

Welche Aussagen sind für $A = 1$ zutreffend?

	Alle Nachrichten $m_i$ werden in gleicher Weise verfälscht.
	Die bedingte Fehlerwahrscheinlichkeit ${\rm Pr(Fehler \ | \ \it m_0)} = 1/64$.
	Die bedingte Fehlerwahrscheinlichkeit ${\rm Pr(Fehler \ | \ \it m_1)} = 0$.
	Die bedingte Fehlerwahrscheinlichkeit ${\rm Pr(Fehler \ | \ \it m_2)} = 0$.

4

Welche Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich mit ${\rm Pr}(m_0) = {\rm Pr}(m_1) = {\rm Pr}(m_2) = 1/3$?

$A = 1; \ {\rm alle \ 1/3} \text{:} \hspace{0.2cm} p_{\rm S}$ = $\ \cdot 10^{\rm –2}$

5

Welche Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich mit ${\rm Pr}(m_0) = {\rm Pr}(m_1) = 1/4, {\rm Pr}(m_2) = 1/2$?

$A = 1; 1/4, 1/4, 1/2 \text{:} \hspace{0.2cm} p_{\rm S}$ = $\ \cdot 10^{\rm –2}$

6

Könnte man durch Festlegung anderer Regionen ein besseres Ergebnis erzielen?

	ja,
	nein.

Musterlösung

Solution

(1)  (2)  (3)  (4)  (5)