Exercise 4.2: Channel Log Likelihood Ratio at AWGN

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Bedingte Gaußfunktionen

Wir betrachten zwei Kanäle A und B, jeweils mit

• binärem bipolaren Eingang $x ∈ \{+1, \, –1\}$, und
• wertkontinuierlichem Ausgang $y ∈ {\rm IR}$ (reelle Zahl).

Die Grafik zeigt für beide Kanäle A und B

• als blaue Kurve die Dichtefunktionen $f_{y|x=+1}$,
• als rote Kurve die Dichtefunktionen $f_{y|x=–1}$.

Im Theorieteil wurde für diese AWGN–Konstellation der Kanal–$L$–Wert (englisch: Channel Log Likelihood Ratio, oder kurz Channel LLR) wie folgt hergeleitet:

$$L_{\rm K}(y) = L(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x) = {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(y \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x=+1) }{{\rm Pr}(y \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x = -1)} \hspace{0.05cm}.$$

Wertet man diese Gleichung analytisch aus, so erhält man mit der Proportionalitätskonstanten $K_{\rm L} = 2/\sigma^2$:

$$L_{\rm K}(y) = K_{\rm L} \cdot y \hspace{0.05cm}.$$

Hinweis:

• Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels Soft–in Soft–out Decoder.

Fragebogen

1

Welche Eigenschaften weisen die in der Grafik dargestellten Kanäle auf?

	Sie beschreiben die Binärübertragung bei Gaußscher Störung.
	Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit ohne Codierung ist ${\rm Q}(1/\sigma)$.
	Das Kanal–LLR ist als $L_{\rm K}(y) = K_{\rm L} \cdot y$ darstellbar.

2

Welche Konstante $K_{\rm L}$ kennzeichnet den Kanal A?

${\rm Kanal \ A} \text{:} \hspace{0.2cm} K_{\rm L} \ = \ $

3

Welche Informationen liefern bei Kanal A die Empfangswerte $y_1 = 1, \ y_2 = 0.5$ und $y_3 = \, –1.5$ über die gesendeten Binärsymbole $x_1, \ x_2$ bzw. $x_3$?

	$y_1 = 1.0$ sagt aus, dass wahrscheinlich $x_1 = +1$ gesendet wurde.
	$y_2 = 0.5$ sagt aus, dass wahrscheinlich $x_2 = +1$ gesendet wurde.
	$y_3 = \, –1.5$ sagt aus, dass wahrscheinlich $x_3 = \, –1$ gesendet wurde.
	Die Entscheidung „$y_1 → x_1$” ist sicherer als „$y_2 → x_2$”.
	Die Entscheidung „$y_1 → x_1$” ist sicherer als „$y_3 → x_3$”.

4

Welche $K_{\rm L}$ kennzeichnet den Kanal B?

${\rm Kanal \ B} \text{:} \hspace{0.2cm} K_{\rm L} \ = \ $

5

Welche Informationen liefern bei Kanal B die Empfangswerte $y_1 = 1, \ y_2 = 0.5$ und $y_3 = \, –1.5$ über die gesendeten Binärsymbole $x_1, \ x_2$ bzw. $x_3$?

	Für $x_1, \ x_2, \ x_3$ wird gleich entschieden wie bei Kanal A.
	Die Schätzung „$x_2 = +1$” ist viermal sicherer als bei Kanal A.
	Die Schätzung „$x_3 = \, –1$” bei Kanal A ist zuverlässiger als die Schätzung „$x_2 = +1$” bei Kanal B.

Musterlösung

Solution

(1)  (2)  (3)  (4)  (5)