Exercise 4.5Z: Tangent Hyperbolic and Inverse

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Tabelle $y = \tanh {(x)}$

Im Theorieteil wurde am Beispiel des Single Parity–check Codes gezeigt, dass der extrinsische $L$–Wert bezüglich des $i$–ten Symbols wie folgt definiert ist:

$$L_{\rm E}(i) = {\rm ln} \hspace{0.2cm}\frac{{\rm Pr} \left [w_{\rm H}(\underline{x}^{(-i)})\hspace{0.15cm}{\rm ist \hspace{0.15cm} gerade} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}\underline{y} \hspace{0.05cm}\right ]}{{\rm Pr} \left [w_{\rm H}(\underline{x}^{(-i)})\hspace{0.15cm}{\rm ist \hspace{0.15cm} ungerade} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}\underline{y} \hspace{0.05cm}\right ]} \hspace{0.05cm}.$$

Diese Gleichung ist auch bei vielen anderen Kanalcodes anwendbar. Das Codewort $\underline{x}^{(-i)}$ in dieser Definition beinhaltet alle Symbole mit Ausnahme von $x_i$ und hat somit die Länge $n-1$.

In der Aufgabe A4.4 wurde gezeigt, dass der extrinsische $L$–Wert auch wie folgt geschrieben werden kann:

$$L_{\rm E}(i) = {\rm ln} \hspace{0.2cm} \frac{1 + \pi}{1 - \pi}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} {\rm mit} \hspace{0.3cm} \pi = \prod\limits_{j \ne i}^{n} \hspace{0.15cm}{\rm tanh}(L_j/2) \hspace{0.05cm}.$$

In dieser Aufgabe soll nun nach einer weiteren Berechnungsmöglichkeit gesucht werden.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Themengebiet von Kapitel 4.1.
• Rechts oben sehen Sie eine Tabelle mit den Zahlenwerten der Funktion $y = \tanh {(x)}$  ⇒  Tangens Hyperbolikus. Mit den rot hinterlegten Zeilen kann man die Werte der inversen Funktion $x = \tanh^{-1}{(y)}$ ablesen, die für die Teilaufgabe (5) benötigt werden.

Fragebogen

1

Es gelte $\underline{L}_{\rm APP} = (+1.0, +0.4, -1.0)$. Berechnen Sie die extrinsischen $L$–Werte  ⇒  $\underline{L}_E = (L_{\rm E}(1), \ L_{\rm E}(2), \ L_{\rm E}(3))$ nach der vorne angegebenen Gleichung:

$L_{\rm E}(1) \ = \ $

$L_{\rm E}(2) \ = \ $

$L_{\rm E}(3) \ = \ $

2

Welche der Eigenschaften weist die Funktion $y = \tanh {(x)}$ auf?

	Es gilt $\tanh {(x)} = (e^x - e^{-x}) \ / \ (e^x + e^{-x})$.
	Es gilt $\tanh {(x)} = (1 - e^{-2x}) \ / \ (1 + e^{-2x})$.
	Die Funktion $y = \tanh {(x)}$ ist für alle $x$–Werte definiert.
	Es gilt $y_{\rm min} = 0$ und $y_{\rm max} → ∞$
	Es gilt $y_{\rm min} = -1$ und $y_{\rm max} = +1$.

3

Welche Eigenschaften weist die inverse Funktion $x = \tanh^{(-1)}{(y)}$ auf?

	Die Funktion $x = \tanh^{-1}{(y)}$ ist für alle $y$–Werte definiert.
	Es gilt $x = \tanh^{-1}{(y)} = 1/2 \cdot \ln {[(1 + y) \ / \ (1 - y)]}$.
	Es gilt $x_{\rm min} = -1$ und $x_{\rm max} = +1$.
	Es gilt $x_{\rm min} → -∞$ und $x_{\rm max} → +∞$.

4

Wie lässt sich $L_{\rm E}(i)$ auch darstellen? Es sei $\pi$ wie auf der Angabenseite definiert.

	Es gilt $L_{\rm E}(i) = \tanh^{-1}{(\pi)}$.
	Es gilt $L_{\rm E}(i) = 2 \cdot \tanh^{-1}{(\pi)}$.
	Es gilt $L_{\rm E}(i) = 2 \cdot \tanh^{-1}{\ln {[(1 + \pi) \ / \ (1 - \pi)]}}$.

5

Berechnen Sie die extrinsischen $L$–Werte mit der Gleichung gemäß Aufgabe (4). Verwenden Sie hierzu die Tabelle auf der Angabenseite.

$L_{\rm E}(1) \ = \ $

$L_{\rm E}(2) \ = \ $

$L_{\rm E}(3) \ = \ $

Musterlösung

Solution

(1)  (2)  (3)  (4)  (5)