Exercise 2.11Z: Arithmetic Coding once again

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Wir betrachten hier die arithmetische Codierung (AC). Alle notwendigen Informationen zu dieser Art von Entropiecodierung finden Sie in der Aufgabe 2.11.

Auch die Grafik ist das Ergebnis von Aufgabe 2.11. Die für die aktuelle Aufgabe wichtigen Zahlenwerte für die Codierschritte 3 und 7 sind farblich hervorgehoben:

• Das Intervall für $N= 3$ (Symbolfolge XXY) beginnt bei $B_3 = 0.343$ und reicht bis zum Endwert $E_3 = 0.392$.
• Das Intervall für $N= 7$ (Symbolfolge XXYXXXZ) beginnt bei $B_7 = 0.3564456$ und endet bei $E_7 =0.359807$.

In dieser Aufgabe geht es nur um die Zuweisung von Binärfolgen zu den ausgewählten Intervallen. Man geht wie folgt vor:

• Das Intervall $I$ wird bestimmt durch den Beginn $B$, das Ende $E$, die Intervallbreite ${\it \Delta} = E-B$ sowie die Intervallmitte $M = (B+E)/2$.
• Das Intervall $I$ wird gekennzeichnet durch die Binärdarstellung (mit begrenzter Auflösung) eines beliebigen reellen Zahlenwertes $r \in I$ . Beispielsweise wählt man $r \approx M$.
• Die erforderliche Bitanzahl ergibt sich aus der Intervallbreite nach folgender Gleichung (die nach unten offenen Klammern bedeuten „nach oben runden”):

$$N_{\rm Bit} = \left\lceil{\rm log_2} \hspace{0.15cm} 1/{\it \Delta} \right\rceil+1\hspace{0.05cm}. $$

Beispielsweise steht für $N_{\rm Bit} = 5$ der Binärcode 01001 für die folgende reellwertige Zahl r:

$$r = 0 \cdot 2^{-1}+1 \cdot 2^{-2}+0 \cdot 2^{-3}+0 \cdot 2^{-4}+1 \cdot 2^{-5} = 0.28125 \hspace{0.05cm}. $$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Weitere Quellencodierverfahren.
• Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seite Arithmetische Codierung.
• Weitere Informationen zum Thema finden Sie auch in diesem WIKIPEDIA-Artikel

Fragebogen

1

Wie viele Bit werden zur Darstellung der Quellensymbolfolge XXY   ⇒   $N = 3$ benutzt?

$N_\text{Bit} \ = \ $

2

Welcher arithmetischer Code (AC) gilt für diesen Fall?

	AC = 01011,
	AC = 010111,
	AC = 110111.

3

Wie viele Bit werden zur Darstellung der Quellensymbolfolge XXYXXXZ   ⇒   $N = 7$ benutzt?

$N_\text{Bit} \ = \ $

4

Ist 01011100001 ein gültiger Code für die Quellensymbolfolge XXYXXXZ?

	Ja.
	Nein.

5

Welche Aussagen gelten für die arithmetische Codierung allgemein?

	Es handelt sich um eine gemeinsame Codierung ganzer Folgen.
	Eine 32 Bit–Rechnerarchitektur begrenzt die Folgenlänge $N$.
	Dieses Problem lässt sich durch Integer–Realisierung umgehen.
	Eine Integer–Realisierung erhöht die Codiergeschwindigkeit.

Musterlösung

Solution

(1)  Das ausgewählte Intervall beginnt bei B₃ = 0.343 und endet bei E₃ = 0.392. Die Intervallbreite ist somit Δ₃ = 0.049 und damit gilt mit dem Logarithmus dualis:

$$N_{\rm Bit} = {\rm log_2} \hspace{0.15cm} \left\lceil \frac{1}{0.049}\right\rceil+1\hspace{0.15cm}\underline{= 6} \hspace{0.05cm}.$$

(2)  Das ausgewählte Intervall ergibt sich zu I = [0.343, 0.392). Die Mitte liegt bei M₃ = 0.3675. Zur Bestimmung des arithmetischen Codes versuchen wir, die Intervallmitte durch eine Binärdarstellung möglichst gut zu erreichen. Da uns gerade kein entsprechendes Tool zur Lösung dieser Aufgabe zur Verfügung steht, gehen wir von folgenden Nebenrechnungen aus:

H₄ = 2^–2 + 2^–4 = 0.3125  ⇒  gehört nicht zum Intervall I.

H₅ = H₄ + 2^–5 = 0.34375 ∈ I  ⇒  Binärdarstellung: 0.01011  ⇒  Code: 01011.

H₆ = H₅ + 2^–6 = 0.359375 ∈ I ⇒  Binärdarstellung: 0.010111  ⇒  Code: 010111.

H₇ = H₆ + 2^–7 = 0.3671875 ∈ I  ⇒  Binärdarstellung: 0.0101111  ⇒  Code: 0101111.

H₁₂ = H₇ + 2^–12 = 0.3674316406 ∈ I ⇒  binär: 0.010111100001  ⇒  Code: 010111100001.

Der entsprechende 6 Bit–Code lautet somit AC = 010111   ⇒   Richtig ist der Lösungsvorschlag 2.

(3)  Hier ergibt sich mit dem Beginn B₇ = 0.3564456 und dem Ende E₇ = 0.359807 die Intervallbreite Δ₇ = 0.0033614 und damit

$$N_{\rm Bit} = \left\lceil {\rm log_2} \hspace{0.15cm} \frac{1}{0.0033614} \right\rceil + 1\hspace{0.15cm} = \left\lceil {\rm ld} \hspace{0.15cm} 297.5 \right\rceil + 1\hspace{0.15cm} \underline{= 11} \hspace{0.05cm}.$$

(4)  Die Binärdarstellung des Codes 01011100001 ergibt

$$2^{-2}+ 2^{-4}+ 2^{-5}+ 2^{-6}+ 2^{-11} = 0.3598632813 > E_7 \hspace{0.05cm}.$$

Richtig ist also NEIN. Wegen

$$2^{-2}+ 2^{-4}+ 2^{-5}+ 2^{-7}+ 2^{-8}+ 2^{-9}+ 2^{-11} =0.3579101563 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} B_7 \le 0.3579101563 < E_7$$

ist der gültige arithmetische Code gleich 01011011101.

(5)  Alle Aussagen sind richtig. Siehe auch:

Bodden, E.; Clasen, M.; Kneis, J.: Algebraische Kodierung. Proseminar, Lehrstuhl für Informatik IV, RWTH Aachen, 2002.