Exercise 3.6Z: Transition Diagram at 3 States

Zustandsübergangsdiagramm für $m = 3$ (unvollständig)

Im Zustandsübergangsdiagramm eines Codierers mit Gedächtnis $m$ gibt es $2^m$ Zustände. Das dargestellte Diagramm mit acht Zuständen beschreibt deshalb einen Faltungscoder mit dem Gedächtnis $m = 3$.

Normalerweise bezeichnet man die Zustände mit $S_0, \ \text{...} \ , \ S_{\mu}, \ \text{...} \ , \ S_7$, wobei der Index $\mu$ aus der Belegung des Schieberegisters (Inhalt von links nach rechts: $u_{i-1}, u_{i-2}, u_{i-3})$ festgelegt ist:

$$\mu = \sum_{l = 1}^{m} \hspace{0.1cm}2\hspace{0.03cm}^{l-1} \cdot u_{i-l} \hspace{0.05cm}.$$

Der Zustand $S_0$ ergibt sich deshalb für den Schieberegisterinhalt „$000$”, der Zustand $S_1$ für „$100$” und der Zustand $S_7$ für „$111$”.

In obiger Grafik sind allerdings für die Zustände $S_0, \, \text{...} \, , \, S_7$ Platzhalter names $\mathbf{A}, \, \text{...} \, , \, \mathbf{H}$ verwendet. In den Teilaufgaben (1) und (2) sollen Sie klären, welcher Platzhalter für welchen Zustand steht.

Bei Faltungscodierer der Rate $1/n$, die hier ausschließlich betrachtet werden sollen, gehen von jedem Zustand $S_{\mu}$ zwei Pfeile ab,

ein roter für das aktuelle Informationsbit $u_i = 0$ und
ein blauer für $u_i = 1$.

Auch deshalb ist das gezeigte Zustandsübergangsdiagramm nicht vollständig. Zu erwähnen ist weiterhin:

Bei jedem Zustand kommen auch zwei Pfeile an, wobei diese durchaus gleichfarbig sein können.
Neben den Pfeilen stehen üblicherweise noch die $n$ Codebits. Auch hierauf wurde hier verzichtet.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Codebeschreibung mit Zustands– und Trellisdiagramm.

In Aufgabe 3.7Z werden zwei Faltungscodes mit Gedächtnis $m = 3$ untersucht, die beide durch das hier analysierte Übergangsdiagramm beschrieben werden können.
Bitte bei allen Fragen den ensprechenden Index $\mu$ eingeben.
Bezug genommen wird insbesondere auf die Abschnitte
- Zustandsdefinition für ein Speicherregister sowie
- Darstellung im Zustandsübergangsdiagramm.

Fragebogen

${\rm Zustand} \ \mathbf{A} \ ⇒ \ {\rm Index} \ {\mu} \ = \ $

${\rm Zustand} \ \mathbf{F} \ ⇒ \ {\rm Index} \ {\mu} \ = \ $

${\rm Zustand} \ \mathbf{B} \ ⇒ \ {\rm Index} \ {\mu} \ = \ $

${\rm Zustand} \ \mathbf{C} \ ⇒ \ {\rm Index} \ {\mu} \ = \ $

${\rm Zustand} \ \mathbf{D} \ ⇒ \ {\rm Index} \ {\mu} \ = \ $

${\rm Zustand} \ \mathbf{E} \ ⇒ \ {\rm Index} \ {\mu} \ = \ $

${\rm Zustand} \ \mathbf{G} \ ⇒ \ {\rm Index} \ {\mu} \ = \ $

${\rm Zustand} \ \mathbf{H} \ ⇒ \ {\rm Index} \ {\mu} \ = \ $

${\rm Von \ {\it S}_{\rm 1} \ zum \ Zustand \ mit \ Index \ {\mu}} \ = \ $

${\rm Von \ {\it S}_{\rm 3} \ zum \ Zustand \ mit \ Index \ {\mu}} \ = \ $

${\rm Von \ {\it S}_{\rm 5} \ zum \ Zustand \ mit \ Index \ {\mu}} \ = \ $

${\rm Von \ {\it S}_{\rm 7} \ zum \ Zustand \ mit \ Index \ {\mu}} \ = \ $

Musterlösung

Solution

(1) Der Platzhalter $\mathbf{A}$ steht für den Zustand $S_0$ ⇒ $u_{i–1} = 0, \ u_{i–2} = 0, \ u_{i–3} = 0$. Dies ist der einzige Zustand $S_{\mu}$, bei dem man durch das Infobit $u_i = 0$ (roter Pfeil) im gleichen Zustand $S_{\mu}$ bleibt.

Zusammenhang zwischen Platzhalter und Zuständen

Vom Zustand $S_7$ ⇒ $u_{i–1} = 1, \ u_{i–2} = 1, \ u_{i–3} = 1$ kommt man mit $u_i = 1$ (blauer Pfeil) auch wieder zum Zustand $S_7$. Einzugeben waren also für $\mathbf{A}$ der Index $\underline{\mu = 0}$ und für $\mathbf{F}$ der Index $\underline{\mu = 7}$.

(2) Ausgehend vom Zustand $\mathbf{A} = S_0$ kommt man entsprechend der Ausgangsgrafik im Uhrzeigersinn mit den roten Pfeilen $(u_i = 0)$ bzw. den blauen Pfeilen $(u_i = 1)$ zu folgenden Zuständen:

$u_{i–3} = 0, \ u_{i–2} = 0, \ u_{i–1} = 0, \ u_i = 1 ⇒ s_{i+1} = \mathbf{B} = S_1$,
$u_{i–3} = 0, \ u_{i–2} = 0, \ u_{i–1} = 1, \ u_i = 0 ⇒ s_{i+1} = \mathbf{C} = S_2$,
$u_{i–3} = 0, \ u_{i–2} = 1, \ u_{i–1} = 0, \ u_i = 1 ⇒ s_{i+1} = \mathbf{D} = S_5$,
$u_{i–3} = 1, \ u_{i–2} = 0, \ u_{i–1} = 1, \ u_i = 1 ⇒ s_{i+1} = \mathbf{E} = S_3$,
$u_{i–3} = 0, \ u_{i–2} = 1, \ u_{i–1} = 1, \ u_i = 1 ⇒ s_{i+1} = \mathbf{F} = S_7$,
$u_{i–3} = 1, \ u_{i–2} = 1, \ u_{i–1} = 1, \ u_i = 0 ⇒ s_{i+1} = \mathbf{G} = S_6$,
$u_{i–3} = 1, \ u_{i–2} = 1, \ u_{i–1} = 0, \ u_i = 0 ⇒ s_{i+1} = \mathbf{H} = S_4$,
$u_{i–3} = 1, \ u_{i–2} = 0, \ u_{i–1} = 0, \ u_i = 0 ⇒ s_{i+1} = \mathbf{A} = S_0$.

Einzugeben sind also die Indizes $\mu$ in der Reihenfolge 1, 2, 5, 3, 6, 4. Die Grafik zeigt den Zusammenhang zwischen den Platzhaltern und den Zuständen $S_{\mu}$.

(3) Vom Zustand $S_1$ ⇒ $u_{i–1} = 1, \ u_{i–2} = 0, \ u_{i–3} = 0$ kommt man mit $u_i = 0$ (roter Pfeil) zum Zustand $S_2$. Dagegen landet man mit $u_i = 1$ (blauer Pfeil) beim Zustand $S_3$ ⇒ $u_{i–1} = 1, \ u_{i–2} = 1, \ u_{i–3} = 0$.

Zustandsübergangsdiagramm mit $2^3$ Zuständen

Nebenstehende Grafik zeigt das Zustandsübergangsdiagramm mit allen Übergängen. Aus diesem kann abgelesen werden:

Vom Zustand $S_3$ kommt man mit $u_i = 0$ zum Zustand $S_6$.
Vom Zustand $S_5$ kommt man mit $u_i = 0$ zum Zustand $S_2$.
Vom Zustand $S_7$ kommt man mit $u_i = 0$ zum Zustand $S_6$.

Einzugeben sind also die Indizes in der Reihenfolge 3, 6, 2, 6.