Exercise 2.1: Two-Dimensional Impulse Response

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Zweidimensionale Impulsantwort

Es soll die zweidimensionale Impulsantwort

$$h(\tau,\hspace{0.05cm}t) = \sum_{m = 1}^{M} z_m(t) \cdot {\rm \delta} (\tau - \tau_m)$$

gemäß der nebenstehenden Grafik analysiert werden. Die beiden Achsen sind zeitdiskret:

• $\tau$  kennzeichnet die  Verzögerungszeit  und kann im Beispiel Werte zwischen  $0$  und  $6 \ {\rm µ s}$  annehmen.
• Die absolute Zeit  $t$  macht Aussagen über die Häufigkeit der Momentaufnahmen und charakterisiert die Zeitvarianz. Es gilt  $t = n \cdot T$, wobei  $T \gg \tau_{\rm max}$  gelten soll.

Die Pfeile in der Grafik markieren verschiedene Diracfunktionen mit den Impulsgewichten  $1$  (rot),  $1/2$  (blau) und  $1/4$  (grün). Das bedeutet, dass hier auch die Verzögerungszeit  $\tau$  zeitdiskret ist.

Bei den Messungen der Impulsantworten zu verschiedenen Zeiten  $t$  im Sekundenabstand betrug die Auflösung der  $\tau$–Achse  $2$  Mikrosekunden $(\Delta \tau = 2 \ \rm µ s)$. Genauer wurden die Echos nicht lokalisiert.

Weiter wird in dieser Aufgabe noch auf folgende Größen Bezug genommen:

• die zeitvariante Übertragungsfunktion  entsprechend der Definition

$$H(f,\hspace{0.05cm} t) \hspace{0.2cm} \stackrel {f,\hspace{0.05cm}\tau}{\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ} \hspace{0.2cm} h(\tau,\hspace{0.05cm}t) \hspace{0.05cm},$$

• die Näherung der Kohärenzbandbreite  als Kehrwert der maximalen Ausdehnung von  $h(\tau, t)$:

$$B_{\rm K} \hspace{0.01cm}' = \frac{1}{\tau_{\rm max} - \tau_{\rm min}} \hspace{0.05cm}.$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels  Allgemeine Beschreibung zeitvarianter Systeme.
• Genauere Informationen zu verschiedene Definitionen für die Kohärenzbandbreite finden Sie im Kapitel  Das GWSSUS–Kanalmodell, insbesondere in der Musterlösung zur  Aufgabe 2.7Z.
• Anzumerken ist, dass es sich hier um eine konstruierte Aufgabe handelt. Entsprechend obiger Grafik ändert sich die 2D–Impulsantwort während der Zeitspanne  $T$  gravierend. Deshalb ist  $T$  hier als sehr groß zu interpretieren, zum Beispiel eine Stunde.
• Im Mobilfunk ändert sich  $h(\tau, t)$  unter Berücksichtigung des Dopplereffektes im Millisekundenbereich, doch sind die Änderungen während dieser Zeit eher moderat.

Fragebogen

1

Welche Einschränkung bedeutet die Angabe  $\Delta \tau = 2 \rm µ s$  für die maximale Bandbreite  $B_{\rm max}$  des zu untersuchenden Nachrichtensignals?

$B_{\rm max} \ = \ $ $\ \rm kHz$

2

Zu welcher Zeit  $t_2$  ist der Kanal ideal, gekennzeichnet durch  $H(f, t_{\rm 2}) = 1$?

$t_{\rm 2} \ = \ $ $\ \cdot T$

3

Ab welcher Zeit  $t_{\rm 3}$  führt dieser Kanal zu Verzerrungen?

$t_{\rm 3} \ = \ $ $\ \cdot T$

4

Berechnen Sie die Kohärenzbandbreite für  $t = 3T$,  $t = 4T$  und  $t = 5T$:

$t = 3T \text{:} \hspace{0.4cm} B_{\rm K} \hspace{0.01cm}' \ = \ $ $\ \rm kHz$

$t = 4T \text{:} \hspace{0.4cm} B_{\rm K} \hspace{0.01cm}' \ = \ $ $\ \rm kHz$

$t = 5T \text{:} \hspace{0.4cm} B_{\rm K} \hspace{0.01cm}' \ = \ $ $\ \rm kHz$

5

Ab welcher Zeit  $t_{\rm 5}$  könnte man diesen Kanal als zeitinvariant betrachten?

$t_{\rm 5} \ = \ $ $\ \cdot T$

6

Für welchen der genannten  $T$–Werte macht das Arbeiten mit der  $\rm 2D$–Impulsantwort Sinn?

	Eine (langsame) Kanaländerung erfolgt etwa nach  $T = 1 \ \rm µ s$.
	Eine (langsame) Kanaländerung erfolgt etwa nach  $T = 1 \ \rm s$.

Musterlösung

Solution

(1)  Das im äquivalenten Tiefpassbereich beschriebene Nachrichtensignal darf keine größere Bandbreite als $B_{\rm max} = 1/\Delta \tau \ \underline {= 500 \ \rm kHz}$ aufweisen.

• Diese mathematische (zweiseitige) Bandbreite des Tiefpass–Signals ist gleichzeitig die maximale physikalische (einseitige) Bandbreite des zugehörigen Bandpass–Signals.

(2)  $H(f, t_{\rm 2}) = 1$ bedeutet im Zeitbereich $h(\tau, t_{\rm 2}) = \delta(\tau)$.

• Nur dann ist der Kanal ideal.
• Man erkennt aus der Grafik, dass dies nur für den Zeitpunkt $t_{\rm 2} \ \underline {= 0}$ zutrifft.

(3)  Verzerrungen treten dann auf, wenn sich zum Zeitpunkt $t$ die Impulsantwort aus zwei oder mehr Diracfunktionen zusammensetzt   ⇒   $t ≥ t_{\rm 3} \ \underline {= 3T}$.

• Zum Zeitpunkt $t = T$ wird das Signal $s(t)$ nur um $2 \ \rm µ s$ verzögert.
• Bei $t = 2T$ wird zusätzlich noch die Amplitude um $50 \%$ reduziert ($6 \ \rm dB$ Verlust).

(4)  Zum Zeitpunkt $t = 3T$ treten die beiden Diracfunktionen bei $\tau_{\rm min} = 0$ und $\tau_{\rm max} = 4 \ \rm µ s$ auf.

• Die (einfache Näherung für die) Kohärenzbandbreite ist der Kehrwert hiervon:

$$B_{\rm K}\hspace{0.01cm}' = \frac{1}{4\,\,{\rm µ s} } \hspace{0.25cm} \underline{ = 250\,\,{\rm kHz}} \hspace{0.05cm}.$$

• Da auch zum Zeitpunkt $t = 4T$ die Diracfunktionen um $4 \ \rm µ s$ auseinanderliegen, erhält man hier ebenfalls $B_{\rm K} \hspace{0.01cm}' = \underline {250 \ \rm kHz}$.
• Bei $t = 5T$ hat die Impulsantwort eine Ausdehnung von $6 \ \rm µ s \ \Rightarrow \ {\it B}_{\rm K} \hspace{0.01cm}' \ \underline {\approx 166.7 \ \rm kHz}$.

(5)  Die Impulsantworten sind zu den Zeiten $5T$, $6T$ und $7T$ identisch und bestehen jeweils aus 3 Diracs.

• Unter der Annahme, dass sich diesbezüglich für $t ≥ 8T$ nichts ändert, erhält man $t_{\rm 5} \ \underline {= 5T}$.

(6)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:

• Die zeitliche Veränderung der Impulsantwort, deren Dynamik durch den Parameter $T$ ausgedrückt wird, muss langsam sein im Vergleich zur maximalen Ausdehnung von $h(\tau, t)$, die in dieser Aufgabe gleich $\tau_{\rm max} = 6 \ \rm µ s$ beträgt:  

$$T \gg \tau_{\rm max}.$$