Exercise 4.5Z: Tangent Hyperbolic and Inverse
Im Theorieteil wurde am Beispiel des Single Parity–check Codes gezeigt, dass der extrinsische $L$–Wert bezüglich des $i$–ten Symbols wie folgt definiert ist:
- $$L_{\rm E}(i) = {\rm ln} \hspace{0.2cm}\frac{{\rm Pr} \left [w_{\rm H}(\underline{x}^{(-i)})\hspace{0.15cm}{\rm ist \hspace{0.15cm} gerade} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}\underline{y} \hspace{0.05cm}\right ]}{{\rm Pr} \left [w_{\rm H}(\underline{x}^{(-i)})\hspace{0.15cm}{\rm ist \hspace{0.15cm} ungerade} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}\underline{y} \hspace{0.05cm}\right ]} \hspace{0.05cm}.$$
Diese Gleichung ist auch bei vielen anderen Kanalcodes anwendbar. Das Codewort $\underline{x}^{(-i)}$ in dieser Definition beinhaltet alle Symbole mit Ausnahme von $x_i$ und hat somit nur die Länge $n-1$.
In der Aufgabe 4.4 wurde gezeigt, dass der extrinsische $L$–Wert auch wie folgt geschrieben werden kann:
- $$L_{\rm E}(i) = {\rm ln} \hspace{0.2cm} \frac{1 + \pi}{1 - \pi}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} {\rm mit} \hspace{0.3cm} \pi = \prod\limits_{j \ne i}^{n} \hspace{0.15cm}{\rm tanh}(L_j/2) \hspace{0.05cm}.$$
In dieser Aufgabe soll nun noch nach einer weiteren Berechnungsmöglichkeit gesucht werden.
Hinweise:
- * Die Aufgabe gehört zum Kapitel Soft–in Soft–out Decoder.
- Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Zur Berechnung der extrinsischen $L$–Werte.
- Oben sehen Sie eine Tabelle mit den Zahlenwerten der Funktion $y = \tanh(x)$ ⇒ Tangens Hyperbolikus.
- Mit den rot hinterlegten Zeilen kann man die Werte der inversen Funktion $x = \tanh^{-1}(y)$ ablesen, die für die Teilaufgabe (5) benötigt werden.
Fragebogen
Musterlösung
- $$L_{\rm E}(i) = {\rm ln} \hspace{0.2cm} \frac{1 + \pi}{1 - \pi}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} {\rm mit} \hspace{0.3cm} \pi = \prod\limits_{j \ne i}^{3} \hspace{0.15cm}{\rm tanh}(L_j/2) \hspace{0.05cm}.$$
Aus der Tabelle auf der Angabenseite kann abgelesen werden:
- $$\tanh {(L_1/2)} = \tanh {(0.5)} = 0.4621,$$
- $$\tanh {(L_2/2)} = \tanh {(0.2)} = 0.1974.$$
Da der Tangens Hyperbolikus eine ungerade Funktion ist, gilt weiter
- $$\tanh {(L_3/2)} = -\tanh {(0.5)} = -0.4621.$$
- Berechnung von $L_{\rm E}(1)$:
- $$\pi = {\rm tanh}(L_2/2) \cdot {\rm tanh}(L_3/2) = (+0.1974) \cdot (-0.4621) = - 0.0912\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} L_{\rm E}(1) = {\rm ln} \hspace{0.2cm} \frac{1 -0.0912}{1 +0.0912}\hspace{0.15cm}\underline{=-0.1829} \hspace{0.05cm}.$$
- Berechnung von $L_{\rm E}(2)$:
- $$\pi = {\rm tanh}(L_1/2) \cdot {\rm tanh}(L_3/2) = (+0.4621) \cdot (-0.4621) = - 0.2135\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} L_{\rm E}(2) = {\rm ln} \hspace{0.2cm} \frac{1 -0.2135}{1 +0.2135}\hspace{0.15cm}\underline{=-0.4337} \hspace{0.05cm}.$$
- Berechnung von $L_{\rm E}(3)$:
- $$\pi = {\rm tanh}(L_1/2) \cdot {\rm tanh}(L_2/2) = (+0.4621) \cdot (+0.1974) = + 0.0912\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} L_{\rm E}(3) = {\rm ln} \hspace{0.2cm} \frac{1 +0.0912}{1 -0.0912}\hspace{0.15cm}\underline{=+0.1829}= - L_{\rm E}(1) \hspace{0.05cm}.$$
(2) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 2, 3 und 5:
- Die Funktion
- $$y ={\rm tanh}(x) = \frac{{\rm e}^{x}-{\rm e}^{-x}}{{\rm e}^{x}+{\rm e}^{-x}} = \frac{1-{\rm e}^{-2x}}{1+{\rm e}^{-2x}}$$
ist für alle $x$–Werte berechenbar und es gilt $\tanh(-x) = -\tanh(x)$.
- Für große Werte von $x$ wird ${\rm e}^{-2x}$ sehr klein, so dass man im Grenzfall $x → ∞$ den Grenzwert $y = 1$ erhält.
(3) Da der Tangens Hyperbolikus nur Werte zwischen $±1$ liefert, ist die Umkehrfunktion $x = \tanh^{-1}(y)$ auch nur für $|y| ≤ 1$ auswertbar.
Durch Umstellen der angegebenen Gleichung
- $$x ={\rm tanh}^{-1}(y) = 1/2 \cdot {\rm ln} \hspace{0.2cm} \frac{1+y}{1-y}$$
erhält man:
- $${\rm e}^{2x} = \frac{1+y}{1-y} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm e}^{-2x} = \frac{1-y}{1+y} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} (1+y) \cdot {\rm e}^{-2x} = 1-y \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}y = \frac{1-{\rm e}^{-2x}}{1+{\rm e}^{-2x}} = {\rm tanh}(x) \hspace{0.05cm}.$$
Das bedeutet:
- Die im Lösungsvorschlag 2 angegebene Gleichung ist richtig.
- Im Grenzfall $y → 1$ gilt $x = \tanh^{-1}(y) → ∞$.
- Auch die Umkehrfunktion ist ungerade ⇒ im Grenzfall $y → -1$ geht $x → -∞$.
Richtig sind demnach die Lösungsvorschläge 2 und 4.
(4) Ausgehend von der Gleichung
- $$L_{\rm E}(i) = {\rm ln} \hspace{0.2cm} \frac{1 + \pi}{1 - \pi}$$
kommt man mit dem Ergebnis von (3) zur äquivalenten Gleichung entsprechend dem Lösungsvorschlag 2:
- $$L_{\rm E}(i) = 2 \cdot {\rm tanh}^{-1}(\pi)\hspace{0.05cm}.$$
(5) Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe (1) erhält man
- für den ersten extrinsischen $L$–Wert, da $\pi_1 = -0.0912$:
- $$L_{\rm E}(1) = 2 \cdot {\rm tanh}^{-1}(-0.0912)= -2 \cdot {\rm tanh}^{-1}(0.0912) = -2 \cdot 0.0915\hspace{0.15cm}\underline{=-0.1830} \hspace{0.05cm}.$$
- für den zweiten extrinsischen $L$–Wert, da $\pi_2 = -0.2135$:
- $$L_{\rm E}(2) = -2 \cdot {\rm tanh}^{-1}(0.2135) = -2 \cdot 0.2168\hspace{0.15cm}\underline{=-0.4336} \hspace{0.05cm}.$$
- für den dritten extrinsischen $L$–Wert, da $\pi_3 = +0.0912 = -\pi_1$:
- $$L_{\rm E}(3) = -L_{\rm E}(1) \hspace{0.15cm}\underline{=+0.1830} \hspace{0.05cm}.$$
Das Ergebnis wurde mit Hilfe der roten Tabelleneinträge auf der Angabenseite ermittelt und stimmt bis auf Rundungsfehler (Multiplikation/Division durch $2$) mit den Ergebnissen der Teilaufgabe (1) überein.
