Exercise 2.1: Linear? Or Non-Linear?

From LNTwww
Revision as of 20:18, 9 September 2021 by Oezer (talk | contribs)

Interconnected system

We consider the sketched arrangement with input  $x(t)$  and output $z(t)$:

  • The system $S_1$  is describable by the following equation:
$$y(t) = x(t) + {1 \, \rm V}^{\rm -1} \cdot x^2(t) .$$
  • Nothing else is known about the system  $S_2$  with input  $y(t)$  and output  $z(t)$ .
  • The system $S_3$  is the interconnection of  $S_1$  and  $S_2$.


An oscillation with frequency  $f_0 = 5 \ \rm kHz$  is applied to the input:

$$x(t) = {2 \, \rm V} \cdot {\rm cos}(2\pi f_0 t ) .$$

Hence, at the output of the overall system  $S_3$ the following is obtained:

$$z(t) = {1 \, \rm V} \cdot {\rm sin}(2\pi f_0 t ) .$$





Please note:

  • The following trigonometric relation is given:
$$\cos^2(\alpha) = {1}/{2} \cdot \big[ 1 + \cos(2\alpha)\big].$$


Questions

1

What is the signal $y(t)$? What is the signal value at time zero?

$y(t = 0) \ = \ $

$\ \rm V$

2

What correct conclusions could be drawn by an observer who only knows the signals $x(t)$  and  $z(t)$  but not the structure of  $S_3$?

$S_3$  is an ideal system.
$S_3$  is a distortion-free system.
$S_3$  is a linearly distorting system.
$S_3$  is a non-linearly distorting system.

3

Welche Schlüsse müsste der Beobachter ziehen, wenn ihm alle Informationen von der Angabenseite bekannt sind?

$S_2$  ist ein verzerrungsfreies System.
$S_2$  ist ein linear verzerrendes System.
$S_2$  ist ein nichtlinear verzerrendes System.

4

Welches Signal  $z(t)$  könnte sich mit der Eingangsfrequenz  $f_0 = 10 \ \rm kHz$  ergeben?

Das Signal  $z(t)$  ist für alle Zeiten Null.
Ein Signal der Form  $z(t) = A \cdot {\rm cos}(2\pi \cdot 10 \ {\rm kHz} \cdot t ) ,$ mit $A \ne 0.$
Ein Signal der Form  $z(t) = A \cdot {\rm cos}(2\pi \cdot 20 \ {\rm kHz} \cdot t ) ,$ mit $A \ne 0.$


Solution

(1)  Aufgrund der Kennlinie mit linearem und quadratischem Anteil gilt:

$$y(t) = {2 \, \rm V} \cdot {\rm cos}(2\pi f_0 t ) + {1 \, \rm V}^{\rm -1} \cdot ({2 \, \rm V})^2 \cdot {\rm cos}^2(2\pi f_0 t ) = {2 \, \rm V} \cdot \big[ 1 + {\rm cos}(2\pi \cdot f_0 \cdot t ) +{\rm cos}(2\pi \cdot 2f_0 \cdot t ) \big].$$
  • Zum Zeitpunkt  $t= 0$  tritt somit der Signalwert 6 V auf.


(2)  Möglich sind die Alternativen 2 und 3:

  • Ein ideales System kommt wegen  $z(t) ≠ x(t)$  nicht in Frage.
  • Bei nur einer Eingangsfrequenz  $(f_0 = 5 \ \rm kHz)$  im Testsignal ist keine Aussage möglich, ob eine zweite Frequenzkomponente mit  $f \ne f_0$  ebenfalls um  $\alpha = 0.5$  gedämpft und um  $\tau = T_0/4 = 50 \ µ\rm s$  verzögert würde.
  • Ergäbe sich für die zweite Frequenz  $\alpha = 0.5$  und  $\tau = T_0/4 = 50 \ µ \rm s$, so könnte ein verzerrungsfreies System vorliegen.
  • Ergäbe sich für die zweite Frequenzkomponente  $\alpha \ne 0.5$  und/oder  $\tau \ne T_0/4$, so wäre das System linear verzerrend.
  • Die letzte Alternative müsste der Beobachter – obwohl teilweise zutreffend – logischerweise verneinen.


(3)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:

  • Der Beobachter würde erkennen, dass  $S_2$  ein linear verzerrendes System ist.
  • Bei einem verzerrungsfreien System müsste  $z(t)$  zusätzlich noch eine Gleichkomponente und eine   $10 \ \rm kHz$–Komponente beinhalten,
  • bei einem nichtlinear verzerrenden System noch größere Frequenzanteile  $($bei Vielfachen von  $10 \ \rm kHz)$.


(4)  In diesem Fall würde gelten:

$$y(t) = {2 \, \rm V} \cdot \big[ 1 + {\rm cos}(2\pi \cdot 10 \ {\rm kHz} \cdot t ) +{\rm cos}(2\pi \cdot 20 \ {\rm kHz} \cdot t ) \big].$$
  • Das heißt:   $Y(f)$  würde Spektrallinien bei  $f = 0$,  $10 \ \rm kHz$  und  $20 \ \rm kHz$  aufweisen.
  • Die auf der Angabenseite beschriebene Messung mit  $f_0 = 5 \ \rm kHz$  hat aber gezeigt, dass  $H_2(f = 0) = H_2(f = 10 \ {\rm kHz}) = 0$  gelten muss.
  • Die einzig mögliche Signalform ist somit
$$z(t) = {2 \, \rm V} \cdot H_2 (f = {20 \, \rm kHz})\cdot {\rm cos}(2\pi \cdot {20 \, \rm kHz} \cdot t ) .$$
  • Möglich sind also die Lösungsvorschläge 1 und 3, je nachdem, ob das System  $S_2$  die Frequenz  $20 \ {\rm kHz}$  unterdrückt oder durchlässt.