Exercise 1.2Z: Linear Distorting System
bei Rechtecksignalen
The modulator, the channel, and the demodulator of a communication system can be represented by a single linear system with a frequency response of
- $$ H(f) = {\rm si }( \pi \cdot f \cdot \Delta t)$$
The corresponding impulse response is rectangular, symmetrical about $t = 0$ and has height $1/Δt$ and (equivalent) duration $Δt$ :
- $$ h(t) = \left\{ \begin{array}{c} 1/\Delta t \\ 1/(2\Delta t) \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{4}c} {\rm{for}} \\ {\rm{for}} \\ {\rm{for}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.005cm} t\hspace{0.05cm} \right| < \Delta t/2,} \\ {\left| \hspace{0.005cm}t\hspace{0.05cm} \right| = \Delta t/2,} \\ {\left|\hspace{0.005cm} t \hspace{0.05cm} \right| > \Delta t/2.} \\ \end{array}$$
This is a slit low-pass filter, as discussed in the chapter Some Low-Pass Functions in Systems Theory in the book „Linear and Time Invariant Systems”.
The periodic square wave signal $q(t)$ of period $T_0$ is applied at the system input. Thus, the duration of each rectangle and each gap is $T_0/2$. The height of the rectangles is $2\ \rm V$.
The signal $v(t)$ at the system output is called the sink signal. This is represented in the graph for two different parameter values with equivalent impulse duration (red waveforms):
- Das Signal $v_1(t)$ ergibt sich, wenn die äquivalente Impulsdauer von $h(t)$ genau $Δt_1$ ist.
- Entsprechend ergibt sich das Signal $v_2(t)$ mit der äquivalenten Impulsdauer $Δt_2$.
Die Veränderung vom Rechtecksignal $q(t)$ zum dreieck- bzw. trapezförmigen Sinkensignal $v(t)$ ist auf lineare Verzerrungen zurückzuführen und wird durch das Fehlersignal $ε(t) = v(t) - q(t)$ erfasst.
Mit den Leistungen $P_q$ und $P_ε$ der Signale $q(t)$ und $ε(t)$ kann das Sinken–SNR berechnet werden:
- $$\rho_{v} =P_{q}/{P_{\varepsilon }} \hspace{0.05cm}.$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Qualitätskriterien. Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Signal-zu-Stör-Leistungsverhältnis und auf das Kapitel Lineare Verzerrungen im Buch "Lineare zeitinvariante Systeme".
- Die Leistungen $P_q$ und $P_ε$ sind die quadratischen Mittelwerte der Signale $q(t)$ und $ε(t)$ und können bei periodischen Signalen mit der Periodendauer $T_0$ wie folgt ermittelt werden:
- $$P_{q} = \overline{q(t)^2} = \frac{1}{T_{\rm 0}} \cdot \int_{0}^{ T_{\rm 0}} {q(t)^2 }\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} P_{\varepsilon} = \overline{\varepsilon(t)^2} = \frac{1}{T_{\rm 0}} \cdot \int_{0}^{ T_{\rm 0}} {\varepsilon(t)^2 }\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$
- Die Angabe von Leistungen in $\rm V^2$ bedeutet, dass die Signale auf den Widerstand $R = 1\ \rm \Omega$ bezogen werden.
Fragebogen
Musterlösung
- $$\Delta t_1 = T_0 /2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \Delta t_1 / T_0\hspace{0.15cm}\underline {= 0.5} \hspace{0.05cm}.$$
(2) Das Fehlersignal $ε_1(t)$ ist in nebenstehender Grafik oben dargestellt. Man erkennt, dass $ε_1(t)$ alle Werte zwischen $±1 \ \rm V$ annehmen kann:
- $${\varepsilon}_\text{ 1, max} \hspace{0.15cm}\underline {= {1}\;{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$
(3) Es genügt die Mittelung über den Zeitbereich von $t = 0$ bis $t =T_0/4$, da alle anderen Teilintervalle genau gleiche Beiträge liefern:
- $$P_{\varepsilon{\rm 1}} = \frac{1}{T_{\rm 0}/4} \hspace{-0.05cm}\cdot \hspace{-0.05cm}\int_{0}^{ T_{\rm 0}/4} {\varepsilon_1(t)^2 }\hspace{0.1cm}{\rm d}t = \frac{1 \,{\rm V}^2}{T_{\rm 0}/4} \hspace{-0.05cm}\cdot \hspace{-0.05cm} \int_{0}^{ T_{\rm 0}/4} {\left( 1 - \frac{t}{T_{\rm 0}/4}\right)^2 }\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$
- Mit der Substitution $x = 4 · t/T_0$ kann hierfür auch geschrieben werden:
- $$P_{\varepsilon{\rm 1}} = 1 \,{\rm V}^2 \hspace{-0.05cm}\cdot \hspace{-0.05cm} \int_{0}^{ 1} \hspace{-0.2cm}{\left( 1 - 2x + x^2\right)}\hspace{0.1cm}{\rm d}x \hspace{0.05cm}= 1 \,{\rm V}^2 \hspace{-0.05cm}\cdot \hspace{-0.05cm} \left( 1 - 1 + \frac{1}{3}\right)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.333} \,{\rm V}^2\hspace{0.05cm}.$$
(4) Die Mittelung über eine Periode des quadrierten Quellensignals liefert:
- $$P_{q} = \frac{1}{T_0} \cdot \left[(2\,{\rm V})^2 \cdot \frac{T_0}{2}+(0\,{\rm V})^2 \cdot \frac{T_0}{2} \right]\hspace{0.15cm}\underline {= 2\,{\rm V^2}}\hspace{0.05cm}.$$
- Das Sinken–SNR beträgt somit
- $$\rho_{v{\rm 1}} = \frac{P_{q}}{P_{\varepsilon {\rm 1}}} = \frac{2 \,{\rm V}^2}{0.333 \,{\rm V}^2}\hspace{0.15cm}\underline {= 6} \hspace{0.05cm}.$$
(5) Entsprechend der Skizze auf dem Angabenblatt wird nun aus einem Rechteck der Dauer $0.5 \cdot T_0$ ein Trapez der absoluten Dauer $0.75 · T_0$.
- Damit ist nach den Gesetzen der Faltung offensichtlich, dass die äquivalente Impulsdauer $Δt_2/T_0\hspace{0.15cm}\underline { = 0.25}$ sein muss.
(6) Die untere Skizze in obiger Grafik zeigt, dass sich $ε_2(t)$ ebenso wie $ε_1(t)$ innerhalb einer Periodendauer $T_0$ aus vier Dreiecken zusammensetzt, doch sind diese nur halb so breit.
- In der Hälfte der Zeit ist nämlich $ε_2(t) = 0$.
- Wegen $ε_\text{2, max} = ε_\text{1, max} = 1 \ \rm V$ erhält man:
- $$P_{\varepsilon{\rm 2}} ={P_{\varepsilon{\rm 1}}}/{2} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.167} \,{\rm V}^2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \rho_{v{\rm 2}} = {P_{q}}/{P_{\varepsilon {\rm 2}}}\hspace{0.15cm}\underline {= 12} \hspace{0.05cm}.$$
(7) Für $Δt = T_0/2$ wurde in der Teilaufgabe (3) die Verzerrungsleistung $P_{ε1} = 1/3 \ \rm V^{ 2 }$ berechnet.
- In der Teilaufgabe (6) wurde gezeigt, dass bei $Δt = T_0/4$ die Verzerrungsleistung $P_{ε2}$ nur halb so groß ist.
- Anschaulich wurde erläutert, dass ein linearer Zusammenhang besteht. Daraus folgen für $Δt ≤ T_0/2$ die empirischen Gleichungen:
- $$P_{\varepsilon} = \frac{2 \,{\rm V}^2}{3} \cdot \frac{\Delta t}{T_0} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \rho_{v} = \frac{P_{q}}{P_{\varepsilon }}= \frac{3}{\Delta t/T_0} \hspace{0.05cm}.$$
- Der Sonderfall $Δt = T_0/20$ führt somit zu den Resultaten:
- $$P_{\varepsilon{\rm 3}} = \frac{2 \,{\rm V}^2}{60} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \rho_{v{\rm 3}} = \frac{P_{q}}{P_{\varepsilon {\rm 3}}}\hspace{0.15cm}\underline {= 60} \hspace{0.05cm}.$$
