Redundancy-Free Coding

Blockweise und symbolweise Codierung

Bei der Übertragungscodierung unterscheidet man zwischen zwei Arten, der symbolweisen und der blockweisen Codierung. Bei symbolweiser Codierung, die im Kapitel 2.4 im Detail beschrieben ist, wird mit jedem ankommenden Quellensymbol q_ν ein Codesymbol c_ν erzeugt, das außer vom aktuellen Symbol q_ν auch von vorangegangenen Symbolen abhängen kann.

Typisch für alle Übertragungscodes zur symbolweisen Codierung ist, dass die Bitdauer T_q der als binär und redundanzfrei angenommenen Nachrichtenquelle mit der Symboldauer T_c des meist mehrstufigen und redundanten Codersignals c(t) übereinstimmt.

Dagegen wird bei der blockweisen Codierung jeweils einem Block von m_q binären Quellensymbolen (M_q = 2) der Bitdauer T_q eine ein–eindeutige Sequenz von m_c Codesymbolen aus einem Alphabet mit dem Codesymbolumfang M_c ≥ 2 zugeordnet. Für die Symboldauer eines Codesymbols gilt dann

\[T_c = \frac{m_q}{m_c} \cdot T_q \hspace{0.05cm},\]

und die relative Redundanz eines Blockcodes beträgt allgemein

\[r_c = 1- \frac{R_q}{R_c} = 1- \frac{T_c}{T_q} \cdot \frac{{\rm log_2} (M_q)}{{\rm log_2} (M_c)} = 1- \frac{T_c}{T_q \cdot {\rm log_2} (M_c)}\hspace{0.05cm}.\]

Genauere Angaben zu den Blockcodes finden Sie im Kapitel 2.3.

: Bei den Pseudoternärcodes wird durch die Erhöhung der Stufenzahl von M_q = 2 auf M_c = 3 bei gleicher Symboldauer (T_c = T_q) eine relative Redundanz von 1 – 1/log₂(3) ≈ 37% hinzugefügt. Im Gegensatz dazu arbeiten die so genannten 4B3T–Codes auf Blockebene mit den Codeparametern <nobr>m_q = 4,</nobr> M_q = 2, m_c = 3, M_c = 3 und besitzen eine relative Redundanz von ca. 16%. Das Sendesignal ist hier wegen T_c/T_q = 4/3 niederfrequenter als bei uncodierter Übertragung, was die oft teuere Bandbreite verringert und zudem für viele Nachrichtenkanäle auch aus übertragungstechnischer Sicht von Vorteil ist.

Redundanzfreies Ternär– und Quaternärsignal (1)

Ein Sonderfall eines Blockcodes ist die redundanzfreie Codierung. Ausgehend vom redundanzfreien binären Quellensignal q(t) mit Bitdauer T_q wird ein M_c–stufiges Codersignal c(t) generiert, wobei die Symboldauer T_c = T_q · log₂(M_c) beträgt. Somit ergibt sich für die relative Redundanz:

\[r_c = 1- \frac{T_c}{T_q \cdot {\rm log_2} (M_c)} = 1- \frac{m_q}{m_c \cdot {\rm log_2} (M_c)}= 0 \hspace{0.05cm}.\]

Dabei gilt:

Ist M_c eine Potenz zur Basis 2, so werden m_q = log₂(M_c) zu einem einzigen Codesymbol (m_c = 1) zusammengefasst.
Ist M_c keine Zweierpotenz, so ist eine hundertprozentig redundanzfreie Blockcodierung nicht möglich. Codiert man beispielweise m_q = 3 Binärsymbole durch m_c = 2 Ternärsymbole und setzt T_c = 1.5 · T_q, so verbleibt eine relative Redundanz von 1 – 1.5/log₂(3) ≈ 5%.
Codiert man einen Block von 128 Binärsymbolen mit 81 Ternärsymbolen, so ergibt sich eine relative Coderedundanz von weniger als 0.3%.

Zur Vereinfachung der Schreibweise und zur Nomenklaturanpassung an das Kapitel 1 verwenden wir im Folgenden die Bitdauer T_B = T_q des redundanzfreien binären Quellensignals, die Symboldauer T = T_c von Codersignal und Sendesignal sowie die Stufenzahl M = M_c.

Damit ergibt sich für das Sendesignal die identische Form wie bei der Binärübertragung, jedoch mit anderen Amplitudenkoeffizienten:

\[s(t) = \sum_{\nu = -\infty}^{+\infty} a_\nu \cdot g_s ( t - \nu \cdot T)\hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm} a_\nu \in \{ a_1, ... , a_\mu , ... , a_{ M}\}\hspace{0.05cm}.\]

Die Amplitudenkoeffizienten a_ν können prinzipiell beliebig – aber eindeutig – den Codersymbolen c_ν zugeordnet werden. Es ist zweckmäßig, die Abstände zwischen benachbarten Amplituden gleich groß zu wählen. Bei bipolarer Signalisierung (–1 ≤ a_μ ≤ +1) gilt somit für die möglichen Amplitudenkoeffizienten mit dem Laufindex μ = 1, ... , M:

\[a_\mu = \frac{2\mu - M - 1}{M-1} \hspace{0.05cm}.\]

Unabhängig von der Stufenzahl M erhält man hieraus für die äußeren Amplitudenkoeffizienten a₁ = –1 und a_M = +1. Bei einem ternären Signal (M = 3) sind die möglichen Amplitudenkoeffizienten –1, 0 und +1, während bei einem Quaternärsignal (M = 4) folgende Koeffizienten auftreten: –1, –1/3, +1/3, +1.

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