Exercise 4.1: Low-Pass and Band-Pass Signals
Rechts sind drei Signalverläufe skizziert, wobei die beiden ersten Signale folgenden Verlauf aufweisen:
$$x(t) = 10\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\rm si} ( \pi \cdot {t}/{T_x}) ,$$
$$y(t) = 6\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\rm si}( \pi \cdot {t}/{T_y}) .$$
Die Parameter $T_x = 100 \,μ\text{s}$ und $T_y$ = 166.67 \,μ\text{s}$ geben jeweils die erste Nullstelle von $x(t)$ bzw. $y(t)$ an. Das Signal $d(t)$ ergibt sich aus der Differenz der beiden oberen Signale (untere Grafik): '"`UNIQ-MathJax29-QINU`"' In der Teilaufgabe (d) ist nach den Integralflächen der impulsartigen Signale $x(t)$ und $d(t)$ gefragt. Für diese gilt: '"`UNIQ-MathJax30-QINU`"' Dagegen gilt für die entsprechenden Signalenergien mit dem [[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion#Leistung_und_Energie_eines_Bandpass-Signals|Satz von Parseval]]: '"`UNIQ-MathJax31-QINU`"' '"`UNIQ-MathJax32-QINU`"' ''Hinweise:'' *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Unterschiede_und_Gemeinsamkeiten_von_TP-_und_BP-Signalen|Signaldarstellung/Unterschiede und Gemeinsamkeiten von TP- und BP-Signalen. *Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein. *Berücksichtigen Sie weiterhin, dass die Fourierrücktransformierte eines rechteckförmigen Spektrums $X(f)=\left\{ {X_0 \; \rm f\ddot{u}r\; |\it f| < \rm B, \atop {\rm 0 \;\;\; \rm sonst}}\right.$ wie folgt lautet: '"`UNIQ-MathJax33-QINU`"' ==='"`UNIQ--h-0--QINU`"'Fragebogen=== '"`UNIQ--quiz-00000002-QINU`"' ==='"`UNIQ--h-1--QINU`"'Musterlösung=== '"`UNIQ--html-00000003-QINU`"' '''1.''' Die si–förmige Zeitfunktion $x(t)$ lässt auf ein Rechteckspektrum $X(f)$ schließen. Die absolute, zweiseitige Bandbreite 2 · $B_x$ ist gleich dem Kehrwert der ersten Nullstelle. Daraus folgt: '"`UNIQ-MathJax34-QINU`"' Da der Signalwert bei $t$ = 0 gleich der Rechteckfläche ist, ergibt sich für die konstante Höhe: '"`UNIQ-MathJax35-QINU`"' '''2.''' Aus $T_y$ = 0.167 ms erhält man $B_y$ = 3 kHz. Zusammen mit $y(t = 0) = 6\text{V}$ führt dies zum gleichen Spektralwert $Y(f = 0) = 10^{−3} \text{V/Hz}$. [[File:P_ID701__Sig_A_4_1_c_neu.png|250px|right|Rechteckförmiges BP-Spektrum (ML zu Aufgabe A4.1)]] '''3.''' Aus $d(t) = x(t) – y(t)$ folgt wegen der Linearität der Fouriertransformation: '"`UNIQ-MathJax36-QINU`"' Die Differenz der zwei gleich hohen Rechteckfunktionen führt zu einem rechteckförmigen $B_P$–Spektrum zwischen 3 kHz und 5 kHz. Die (einseitige) Bandbreite beträgt somit $B_d$ = 2 kHz. In diesem Frequenzintervall ist $D(f) = 10^{–3}$ V/Hz. Außerhalb, also auch bei $f$ = 0, gilt $D(f)$ = 0. '''4.''' Nach den fundamentalen Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation ist das Integral über die Zeitfunktion gleich dem Spektralwert bei $f$ = 0. Daraus folgt:
$$F_x = X(f=0) = \frac{x(t=0)}{2 \cdot B_x} = 10^{-3} \hspace{0.1cm}{\rm V/Hz}\hspace{0.15 cm}\underline{= 10^{-3} \hspace{0.1cm}{\rm Vs}},$$
$$F_d = D(f=0) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0}.$$
Das bedeutet: Bei jedem Bandpass–Signal sind die Flächen der positiven Signalanteile genau so groß wie die Flächen der negativen Anteile.
5. In beiden Fällen ist die Berechnung im Frequenzbereich einfacher als im Zeitbereich, da hier die Integration auf eine Flächenberechnung von Rechtecken zurückgeführt werden kann:
$$E_x = (10^{-3} \hspace{0.1cm}{\rm V/Hz})^2 \cdot 2 \cdot 5 \hspace{0.1cm}{\rm kHz} \hspace{0.15 cm}\underline{= 10^{-2} \hspace{0.1cm}{\rm V^2s}},$$
$$E_d = (10^{-3} \hspace{0.1cm}{\rm V/Hz})^2 \cdot 2 \cdot 2 \hspace{0.1cm}{\rm kHz} \hspace{0.15 cm}\underline{= 4 \cdot 10^{-3} \hspace{0.1cm}{\rm V^2s}}.$$
