Exercise 2.1Z: Different Signal Courses

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Rechts sind fünf Signalverläufe dargestellt. Die ersten drei Signale (A), (B) und (C) sind periodisch und damit auch deterministisch, die beiden unteren Signale haben stochastischen Charakter. Der Momentanwert dieser Signale $x(t)$ wird jeweils als eine Zufallsgröße aufgefasst.

Im Einzelnen sind dargestellt:

(A):   ein dreieckförmiges periodisches Signal,

(B):   das Signal (A) nach Einweggleichrichtung,

(C):   ein rechteckförmiges periodisches Signal,

(D):   ein rechteckförmiges Zufallssignal,

(E):   das Zufallssignal  (D)  nach  AMI-Codierung; hierbei bleibt die „Null” erhalten, während eine jede „Eins” alternierend mit „$+2\ \rm V$” und „$-2\ \rm V$” codiert wird.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Vom Zufallsexperiment zurZufallsgröße.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

1

Bei welchen Signalen beschreibt der Momentanwert eine diskrete Zufallsgröße? Überlegen Sie sich auch die jeweilige Stufenzahl $M$.

	Signal (A)
	Signal (B)
	Signal (C)
	Signal (D)
	Signal (E)

2

Bei welchen Signalen ist der Momentanwert eine (ausschließlich) kontinuierliche Zufallsgröße?

	Signal (A)
	Signal (B)
	Signal (C)
	Signal (D)
	Signal (E)

3

Welche Zufallsgrößen besitzen einen diskreten und einen kontinuierlichen Anteil?

	Signal (A)
	Signal (B)
	Signal (C)
	Signal (D)
	Signal (E)

4

Für das Signal (D) wird die relative Häufigkeit $h_0$ empirisch über $100\hspace{0.03cm}000$ Binärsymbole ermittelt. Benennen Sie eine untere Schranke für die Wahrscheinlichkeit, dass der ermittelte Wert zwischen $0.49$ und $0.51$ liegt?

${\rm Min[\ Pr(0.49}≤h_0≤0.51)\ ] \ =$

5

Wieviele Symbole ($N_\min$) müsste man für diese Untersuchung heranziehen, damit sichergestellt wird, dass die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „Die so ermittelte Häufigkeit liegt zwischen 0.499 und 0.501” größer als $99\%$ ist?

$N_\min \ = $ $\ \cdot 10^9$

Musterlösung

Solution

1.  Die Zufallsgrößen C und D sind binär (M = 2), während die Zufallsgröße E dreiwertig ist. Richtig sind die Lösungsvorschläge 3, 4 und 5.

2.  Die Zufallsgröße A ist kontinuierlich und kann alle Werte zwischen –2V und +2V mit der gleichen Wahrscheinlichkeit annehmen.

3.  Nur die Zufallsgröße B hat einen diskreten Anteil bei 0V und außerdem noch eine kontinuierliche Komponente (zwischen 0V und +2V).

4.  Nach dem Bernoullischen Gesetz der großen Zahlen gilt:

$$\rm Pr\left(|\it h_{\rm 0} - \it p_{\rm 0}|\ge\it\varepsilon\right)\le\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot \it N\cdot\it\varepsilon^{\rm 2}} = {\it p}_{\rm \hspace{0.01cm}Bernouilli}.$$

Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass die relative Häufigkeit h₀ von der Wahrscheinlichkeit <nobr>p₀ = 0.5</nobr> betragsmäßig um mehr als 0.01 abweicht, mit ε = 0.01 berechenbar:

$${\it p}_{\rm \hspace{0.01cm}Bernoulli} = \rm\frac{1}{4\cdot 100000\cdot 0.01^2}=\rm 2.5\% \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} {\rm Min}[({\rm Pr}(0.49 \le h_0 \le 0.51)] \hspace{0.15cm}\underline{= 0.975}.$$

5.  Mit p_Bernoulli = 1 – 0.99 = 0.01 und ε = 0.001 gilt wiederum nach dem Gesetz der großen Zahlen:

$${\it p}_{\rm \hspace{0.01cm}Bernoulli}\le\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot \it N\cdot\it \varepsilon^{\rm 2}}.$$

Aufgelöst nach N erhält man:

$$N\ge\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot\it p_{\rm \hspace{0.01cm}Bernoulli}\cdot\it\varepsilon^{\rm 2}}=\rm \frac{1}{4\cdot 0.01\cdot 0.001^{2}}=\rm 0.25\cdot 10^8 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} {\it N}_{\rm min} \hspace{0.15cm}\underline{= 0.25\cdot 10^8}.$$