Exercise 4.2: Triangular PDF

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Betrachtet werden zwei Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen (kurz WDF) mit dreieckförmigem Verlauf:

• Die Zufallsgröße X ist auf den Wertebereich von 0 und 1 begrenzt, und es gilt für die WDF (obere Skizze)

$$f_X(x) = \left\{ \begin{array}{c} 2x \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.1cm} 0 \le x \le 1 \\ {\rm sonst} \\ \end{array} \hspace{0.05cm}.$$

• Die Zufallsgröße Y besitzt gemäß der unteren Skizze die folgende WDF:

$$f_Y(y) = \left\{ \begin{array}{c} 1 - |y| \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.1cm} |y| \le 1 \\ {\rm sonst} \\ \end{array} \hspace{0.05cm}.$$

• Der Zusammenhang zwischen den zwei Zufallsgrößen ist durch die Gleichung X = |Y| gegeben.

Für beide Zufallsgrößen soll jeweils die differentielle Entropie ermittelt werden. Beispielsweise lautet die entsprechende Gleichung für die Zufallsgröße X: $$h(X) = \hspace{0.1cm} - \hspace{-0.45cm} \int\limits_{{\rm supp}\hspace{0.03cm}(\hspace{-0.03cm}f_X)} \hspace{-0.35cm} f_X(x) \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} [ f_X(x) ] \hspace{0.1cm}{\rm d}x \hspace{0.6cm}{\rm mit}\hspace{0.6cm} {\rm supp}(f_X) = \{ x: f_X(x) > 0 \} \hspace{0.05cm}.$$ Verwendet man den natürlichen Logarithmus, so ist die Pseudo–Einheit „nat” anzufügen. Ist das Ergebnis dagegen in „bit” gefragt, so ist der Logarithmus dualis  ⇒  „log₂” zu verwenden.

In der Teilaufgabe (d) wird die neue Zufallsgröße Z = A · Y betrachtet. Der WDF–Parameter A ist so zu bestimmen, dass die differentielle Entropie der neuen Zufallsgröße Z genau 1 bit ergibt:
$$h(Z) = h (A \cdot Y) = h (Y) + {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (A) = 1\,{\rm bit} \hspace{0.05cm}.$$ Hinweis: Die Aufgabe gehört zum Themengebiet von Kapitel 4.1 Vorgegeben ist das folgende unbestimmte Integral: $$\int \xi \cdot {\rm ln} \hspace{0.1cm} (\xi)\hspace{0.1cm}{\rm d}\xi = \xi^2 \cdot \left [ \frac{{\rm ln} \hspace{0.1cm} (\xi)}{2} - \frac{1}{4}\right ] \hspace{0.05cm}.$$

Fragebogen

1

Berechnen Sie die differentielle Entropie der Zufallsgröße X in „nat”.

$h(X)$ =

2

Welches Ergebnis erhält man mit der Pseudoeinheit „bit”?

$h(X)$ =

3

Berechnen Sie die differentielle Entropie der Zufallsgröße Y.

$h(Y)$ =

4

Bestimmen Sie den WDF–Parameter A, so dass h(Z) = h(A · Y) = 1 bit gilt.

$h(Z) = 1 bit: A$ =

Musterlösung

Solution

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.