Exercise 3.7Z: Regenerator Field Length
Per Simulation wurde gezeigt, dass zwischen dem sog. Systemwirkungsgrad $\eta$ sowie der charakteristischen Kabeldämpfung $a_*$ eines Koaxialkabels – beide in dB aufgetragen – etwa ein linearer Zusammenhang besteht, wenn die charakteristische Kabeldämpfung hinreichend groß ist ($a_* ≥ 40 \ \rm dB$):
- $$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\eta \hspace{0.15cm} {\rm (in \hspace{0.15cm}dB)}= A + B \cdot a_{\star} \hspace{0.05cm}.$$
In der Tabelle sind für vier beispielhafte Systemvarianten
- impulsinterferenzbehaftetes System mit Gaußtiefpass (GTP, siehe Kapitel 3.4) bzw. optimale Nyquistentzerrung (ONE, siehe Kapitel 3.5)
- jeweils Binärsystem ($M = 2$) und Oktalsystem ($M = 8$)
die empirisch gefundenen Gleichungskoeffizienten $A$ und $B$ angegeben.
Für einen gegebenen Wert $a_*$ (und damit eine feste Kabellänge) ist ein System um so besser, je größer der Systemwirkungsgrad ist.
Für die Berecnung der Regeneratorfeldlänge (Abstand zweier Zwischenverstärker) ist zu beachten, dass
- die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit nicht größer sein soll als $10^{\rm –10}$, woraus sich der minimale Sinkenstörabstand ergibt:
- $$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm min} \approx 16.1\,{\rm dB} \hspace{0.05cm},$$
- das logarithmierte Verhältnis von Sendeenergie (pro Bit) und AWGN–Rauschleistungsdichte ca. $100 \ \rm dB$ beträgt, zum Beispiel:
- $$s_0 = 3\,{\rm V},\hspace{0.2cm}R_{\rm B} = 1\,{\rm Gbit/s},\hspace{0.2cm}N_{\rm 0} = 9 \cdot 10^{-19}\,{\rm V^2/Hz}$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}\frac{s_0^2 }{N_0 \cdot R_{\rm B}}= 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} \frac{9\,{\rm V^2} } {9 \cdot 10^{-19}\,{\rm V^2/Hz} \cdot 10^{-9}\,{\rm 1/s}} = 100\,{\rm dB} \hspace{0.05cm},$$
- ein Normalkoaxialkabel mit den Abmessungen $2.6 \ \rm mm$ (innen) und $9.5 \ \rm mm$ (außen) eingesetzt werden soll, bei dem der folgende Zusammenhang gültig ist:
- $$a_{\star} = \frac{2.36\,{\rm dB} } {{\rm km} \cdot \sqrt{{\rm MHz}}} \cdot l \cdot \sqrt{{R_{\rm B}}/{2}} \hspace{0.05cm}.$$
Hierbei bezeichnet $a_*$ die charakteristische Dämpfung bei der halben Bitrate – im Beispiel bei $500 \ \rm MHz$ – und $l$ die Kabellänge.
Hinweis:
- Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel Lineare Nyquistentzerrung.
Fragebogen
Musterlösung
- $${\rm GTP},\hspace{0.1cm}M=2 \hspace{-0.3cm} \hspace{0.2cm} : \ \hspace{-0.1cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\eta = +9.4\,{\rm dB} -1.10 \cdot 40\,{\rm dB} = -34.6\,{\rm dB}\hspace{0.05cm},$$
- $${\rm GTP},\hspace{0.1cm}M=8 \hspace{-0.3cm} \hspace{0.2cm} : \ \hspace{-0.1cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\eta = -1.3\,{\rm dB} -0.91 \cdot 40\,{\rm dB} = -37.7\,{\rm dB}\hspace{0.05cm},$$
- $${\rm ONE},\hspace{0.1cm}M=2 \hspace{-0.3cm} \hspace{0.2cm} : \ \hspace{-0.1cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\eta = +4.5\,{\rm dB} -0.96 \cdot 40 \,{\rm dB}= -33.9\,{\rm dB}\hspace{0.05cm},$$
- $${\rm ONE},\hspace{0.1cm}M=8 \hspace{-0.3cm} \hspace{0.2cm} : \ \hspace{-0.1cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\eta = -9.3\,{\rm dB} -0.54 \cdot 40\,{\rm dB} = -30.9\,{\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$
Die erste Aussage ist zutreffend, da das System (ONE, $M = 8$) bereits bei $40 \ \rm dB$ Kabeldämpfung am besten ist und zudem den günstigsten B–Koeffizienten aufweist. Dagegen trifft die zweite Aussage nicht zu, da zum Beispiel bei $40 \ \rm dB$ Kabeldämpfung das oktale GTP–System schlechter ist als das binäre.
(2) Als Bestimmungsgleichung benutzen wir
- $$-1.3\,{\rm dB} -0.91 \cdot a_{\star} = +4.5 \,{\rm dB}-0.96 \cdot a_{\star}$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} 0.05 \cdot a_{\star} = 5.8\,{\rm dB} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}a_{\star,\hspace{0.05cm}{\rm Grenz}} \hspace{0.15cm}\underline {= 116\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
Das heißt: Bis zur charakteristischen Kabeldämpfung $a_* = 116 \ \rm dB$ (Anmerkung: dies ist ein unrealistisch großer Wert für realisierte Systeme) ist das binäre Nyquistsystem dem System (GTP, $M = 8$) überlegen. Erst für größere Werte als $a_{\rm *, \ Grenz} = 116 \ \rm dB$ überwiegt bei Letzterem der Vorteil ($M = 8$ und damit deutlich niedrigere Symbolrate) gegenüber dem Nachteil (oktale Entscheidung und dadurch größeres Gewicht der Impulsinterferenzen).
(3) Das Sinken–SNR soll mindestens $16.1 \ \rm dB$ betragen, das heißt es muss gelten:
- $$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho = 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}\frac{s_0^2 }{N_0 \cdot R_{\rm B}} + 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\eta $$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\eta \ > \ 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm min} - 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}\frac{s_0^2 }{N_0 \cdot R_{\rm B}} =$$
- $$\ = \ 16.1\,{\rm dB}- 100\,{\rm dB} \hspace{0.15cm}\underline {= -83.9\,{\rm dB} = 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\eta_{\rm min}}\hspace{0.05cm}.$$
(4) Beim hier betrachteten System gilt:
- $$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\eta = -9.3\,{\rm dB} -0.54 \cdot a_{\star}\hspace{0.05cm}.$$
Aus „ $10 \cdot {\rm lg} \, \eta > \hspace{0.1cm}–83.9 \ \rm dB $” ergibt sich die Bedingung für die charakteristische Kabeldämpfung:
- $$a_{\star} < \frac{-83.9\,{\rm dB} + 9.3\,{\rm dB}} {-0.54} \approx 138.1\,{\rm dB} \hspace{0.05cm}.$$
Mit der angegebenen Gleichung
- $$a_{\star} = \frac{2.36\,{\rm dB} } {{\rm km} \cdot \sqrt{{\rm MHz}}} \cdot l \cdot \sqrt{{R_{\rm B}}/{2}} \hspace{0.05cm}.$$
ist damit die maximale Kabellänge (Regeneratorfeldlänge) angebbar:
- $$l_{\rm max} = \frac{138.1\,{\rm dB} } {2.36\,{\rm dB}/{\rm km} \cdot \sqrt{\rm MHz})\cdot \sqrt{500\,{\rm MHz}}} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 2.62\, {\rm km}} \hspace{0.05cm}.$$
(5) Nach gleichem Vorgehen, aber in kompakterer Schreibweise, ergibt sich für dieses „schlechtere” System eine kleinere Regeneratorfeldlänge:
- $$l_{\rm max} = \frac{-(83.9\,{\rm dB}+A)/B } {2.36\,{\rm dB}/{\rm km} \cdot \sqrt{500}} = \frac{+(83.9+9.4)/1.10 } {2.36\cdot \sqrt{500}}\hspace{0.1cm}{\rm km}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 1.61\, {\rm km}} \hspace{0.05cm}.$$
