Exercise 4.2: Channel Log Likelihood Ratio at AWGN
Wir betrachten zwei Kanäle A und B, jeweils mit
- binärem bipolaren Eingang $x ∈ \{+1, \, –1\}$, und
- wertkontinuierlichem Ausgang $y ∈ {\rm IR}$ (reelle Zahl).
Die Grafik zeigt für beide Kanäle A und B
- als blaue Kurve die Dichtefunktionen $f_{y|x=+1}$,
- als rote Kurve die Dichtefunktionen $f_{y|x=–1}$.
Im Theorieteil wurde für diese AWGN–Konstellation der Kanal–$L$–Wert (englisch: Channel Log Likelihood Ratio, oder kurz Channel LLR) wie folgt hergeleitet:
- $$L_{\rm K}(y) = L(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x) = {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(y \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x=+1) }{{\rm Pr}(y \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x = -1)} \hspace{0.05cm}.$$
Wertet man diese Gleichung analytisch aus, so erhält man mit der Proportionalitätskonstanten $K_{\rm L} = 2/\sigma^2$:
- $$L_{\rm K}(y) = K_{\rm L} \cdot y \hspace{0.05cm}.$$
Hinweis:
- Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels Soft–in Soft–out Decoder.
Fragebogen
Musterlösung
- Die Übergangsgleichung lautet stets $y = x + n$, wobei $x ∈ \{+1, \, –1\}$ gilt und $n$ eine Gaußsche Zufallsgröße mit Streuung $\sigma$ ⇒ Varianz $\sigma^2$ angibt ⇒ AWGN–Kanal.
- Die AWGN–Bitfehlerwahrscheinlichkeit berechnet sich mit der Streuung $\sigma$ zu ${\rm Q}(1/\sigma)$ wobei ${\rm Q}(x)$ die Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion bezeichnet.
- Für jeden AWGN–Kanal ergibt sich entsprechend dem Theorieteil das Kanal–LLR stets $L_{\rm K}(y) = L(y|x) = K_{\rm L} \cdot y$. Die Konstante $K_{\rm L}$ ist für die beiden Kanäle unterschiedlich.
(2) Beim AWGN–Kanal gilt $L_{\rm K}(y) = K_{\rm L} \cdot y$ mit der Konstanten $K_{\rm L} = 2/\sigma^2$. Die Streuung $\sigma$ kann aus der Grafik auf der Angabenseite als der Abstand der Wendepunkte innerhalb der Gaußkurven von ihren jeweiligen Mittelpunkten abgelesen werden. Beim Kanal A ergibt sich $\sigma = 1$.
Zum gleichen Ergebnis kommt man durch Auswertung der Gaußfunktion
- $$\frac{f_{\rm G}( y = \sigma)}{f_{\rm G}( y = 0)} = {\rm e} ^{ - y^2/(2\sigma^2) } \Bigg |_{\hspace{0.05cm} y \hspace{0.05cm} = \hspace{0.05cm} \sigma} = {\rm e} ^{ -0.5} \approx 0.6065\hspace{0.05cm}.$$
Das bedeutet: Beim Abszissenwert $y = \sigma$ ist die mittelwertfreie Gaußfunktion $f_{\rm G}(y)$ auf $60.65\%$ ihres Maximalwertes abgeklungen. Somit gilt für die Konstante beim Kanal A: $K_{\rm L} = 2/\sigma^2 \ \underline{= 2}$.
(3) Wir geben zunächst die jeweiligen $L$–Werte von Kanal A an:
- $$L_{\rm K}(y_1 = +1.0) = +2\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} L_{\rm K}(y_2 = +0.5) = +1\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} L_{\rm K}(y_3 = -1.5) = -3\hspace{0.05cm}. $$
Daraus ergeben sich folgende Konsequenzen:
- Die Entscheidung für das (wahrscheinlichste) Codebit $x_i$ wird aufgrund des Vorzeichens von $L_{\rm K}(y_i)$ getroffen: $x_1 = +1, \ x_2 = +1, \ x_3 = \, –1$ ⇒ die Lösungsvorschläge 1, 2 und 3 sind richtig.
- Die Entscheidung „$x_1 = +1$” ist wegen $|L_{\rm K}(y_1)| > |L_{\rm K}(y_3)|$ zuverlässiger als die Entscheidung „$x_2 = +1$” ⇒ Lösungsvorschlag 4 ist ebenfalls richtig.
- Die Entscheidung „$x_1 = +1$” ist aber weniger zuverlässig als die Entscheidung „$x_3 = \, –1$”, da &|L_{\rm K}(y_1)|$ kleiner als $|L_{\rm K}(y_3)|$ ist ⇒ Lösungsvorschlag 5 ist falsch. Dies kann man auch so interpretieren: Der Quotient zwischen dem roten und dem blauen WDF–Wert ist bei $y_3 = \, –1.5$ größer als der Quotient zwischen dem blauen und dem roten WDF–Wert bei $y_1 = +1$. '''(4)''' Nach gleichen Überlegungen wie bei der Teilaufgabe (2) ergibt sich für die Streuung von <u>Kanal B</u>: $\sigma = 1/2 \ \Rightarrow \ K_{\rm L} = 2/\sigma^2 \ \underline{= 8}$. '''(5)''' Für den Kanal B gilt: $L_{\rm K}(y_1 = +1.0) = +8, \ L_{\rm K}(y_2 = +0.5) = +4$ und $L_{\rm K}(y_3 = \, –1.5) = \, –12$. Damit ist offensichtlich, dass die beiden ersten Lösungsvorschläge zutreffen, nicht aber der dritte, weil
- $$|L_{\rm K}(y_3 = -1.5, {\rm Kanal\hspace{0.15cm} A)}| = 3 \hspace{0.5cm} <\hspace{0.5cm} |L_{\rm K}(y_2 = 0.5, {\rm Kanal\hspace{0.15cm} B)}| = 4\hspace{0.05cm} . $$
