Exercise 4.5Z: Tangent Hyperbolic and Inverse
From LNTwww
Tabelle $y = \tanh {(x)}$
Im Theorieteil wurde am Beispiel des Single Parity–check Codes gezeigt, dass der extrinsische $L$–Wert bezüglich des $i$–ten Symbols wie folgt definiert ist:
- $$L_{\rm E}(i) = {\rm ln} \hspace{0.2cm}\frac{{\rm Pr} \left [w_{\rm H}(\underline{x}^{(-i)})\hspace{0.15cm}{\rm ist \hspace{0.15cm} gerade} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}\underline{y} \hspace{0.05cm}\right ]}{{\rm Pr} \left [w_{\rm H}(\underline{x}^{(-i)})\hspace{0.15cm}{\rm ist \hspace{0.15cm} ungerade} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}\underline{y} \hspace{0.05cm}\right ]} \hspace{0.05cm}.$$
Diese Gleichung ist auch bei vielen anderen Kanalcodes anwendbar. Das Codewort $\underline{x}^{(-i)}$ in dieser Definition beinhaltet alle Symbole mit Ausnahme von $x_i$ und hat somit die Länge $n-1$.
In der Aufgabe A4.4 wurde gezeigt, dass der extrinsische $L$–Wert auch wie folgt geschrieben werden kann:
- $$L_{\rm E}(i) = {\rm ln} \hspace{0.2cm} \frac{1 + \pi}{1 - \pi}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} {\rm mit} \hspace{0.3cm} \pi = \prod\limits_{j \ne i}^{n} \hspace{0.15cm}{\rm tanh}(L_j/2) \hspace{0.05cm}.$$
In dieser Aufgabe soll nun nach einer weiteren Berechnungsmöglichkeit gesucht werden.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Themengebiet von Kapitel 4.1.
- Rechts oben sehen Sie eine Tabelle mit den Zahlenwerten der Funktion $y = \tanh {(x)}$ ⇒ Tangens Hyperbolikus. Mit den rot hinterlegten Zeilen kann man die Werte der inversen Funktion $x = \tanh^{-1}{(y)}$ ablesen, die für die Teilaufgabe (5) benötigt werden.
Fragebogen
Musterlösung
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
