Exercise 1.3: Calculating with Complex Numbers

Betrachtete Zahlen in der komplexen Ebene

Nebenstehende Grafik zeigt einige Punkte in der komplexen Ebene, nämlich

$$z_1 = {\rm e}^{-{\rm j} 45^{ \circ}}, $$

$$z_2 = 2 \cdot{\rm e}^{{\rm j} 135^{ \circ}},$$

$$z_3 = -{\rm j} .$$

Im Verlauf dieser Aufgabe werden noch folgende komplexe Größen betrachtet:

$$z_4 = z_2^2 + z_3^2,$$

$$z_5 = 1/z_2,$$

$$z_6 = \sqrt{z_3},$$

$$z_7 = {\rm e}^{z_2},$$

$$z_8 = {\rm e}^{z_2} + {\rm e}^{z_2^{\star}}.$$

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Zum Rechnen mit komplexen Zahlen.
Die Thematik wird auch im Lernvideo Rechnen mit komplexen Zahlen behandelt.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

	$2 \cdot z_1 + z_2 =0.$
	$z_1^{\ast} \cdot z_2 +2=0.$
	$(z_1/z_2) \cdot z_3$ ist rein reell.

$ x_4 \ =\ $

$ y_4 \ =\ $

$ x_5 \ =\ $

$ y_5 \ =\ $

$ \phi_6 ({\rm zwischen\hspace{0.1cm} 0^{\circ} \hspace{0.1cm}und \hspace{0.1cm} +\hspace{-0.15cm}180^{\circ} \hspace{0.1cm}Grad}) \hspace{0.2cm} =\ $

$\text{Grad}$

$ \phi_6 ({\rm zwischen\hspace{0.1cm} - \hspace{-0.15cm}180^{\circ} \hspace{0.1cm}und \hspace{0.1cm} 0^{\circ} \hspace{0.1cm}Grad}) \hspace{0.2cm} =\ $

$\text{Grad}$

$ x_7 \ =\ $

$ y_7 \ =\ $

$ x_8 \ =\ $

$ y_8 \ =\ $

Musterlösung

Solution

1. Entsprechend den Angaben gilt mit dem Satz von Euler:

$2 \cdot z_1 + z_2 = 2 \cdot \cos(45^{ \circ}) - 2{\rm j}\cdot \sin(45^{ \circ})- 2 \cdot \cos(45^{ \circ}) + 2{\rm j} \cdot\sin(45^{ \circ}) = 0.$

Der zweite Vorschlag ist ebenfalls richtig, da

$z_1^{\star} \cdot z_2 = 1 \cdot{\rm e}^{{\rm j} 45^{ \circ}} \cdot 2 \cdot{\rm e}^{{\rm j} 135^{ \circ}} = 2 \cdot{\rm e}^{{\rm j} 180^{ \circ}}= -2.$

Dagegen ist der dritte Vorschlag falsch. Die Division von $z_1$ und $z_2$ liefert:

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{{\rm e}^{-{\rm j} 45^{ \circ}}}{2 \cdot{\rm e}^{{\rm j} 135^{ \circ}}} = 0.5 \cdot{\rm e}^{-{\rm j} 180^{ \circ}}= -0.5.$

Die Multiplikation mit $z_3 = -{\rm j} $ führt zum Ergebnis j/2, also zu einer rein imaginären Größe. Richtig sind also die Lösungsvorschläge 1 und 2.

2. Das Quadrat von $z_2$ hat den Betrag $|z_2|^{2}$ und die Phase $2 \cdot \phi_2$:

$z_2^2 = 2^2 \cdot{\rm e}^{{\rm j} 270^{ \circ}}= 4 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} 90^{ \circ}}=-4 \cdot {\rm j}.$

Entsprechend gilt für das Quadrat von $z_3$:

$z_3^2 = (-{\rm j})^2 = -1.$ Somit ist $x_4 =\underline{ –1}$ und $y_4 = \underline{–4}.$

3. Durch Anwendung der Divisionsregel erhält man:

$z_5 = {1}/{z_2} = \frac{1}{2 \cdot{\rm e}^{{\rm j} 135^{ \circ}}}= 0.5 \cdot{\rm e}^{-{\rm j} 135^{ \circ}} = 0.5 \cdot \left( \cos (- 135^{ \circ}) + {\rm j} \cdot \sin (- 135^{ \circ})\right)$ $\Rightarrow x_5 = - {\sqrt{2}}/{4}\underline{= -0.354},\hspace{0.5cm} y_5 = x_5 \underline{= -0.354}.$

4. Die angegeben Beziehung für $z_6$ kann wie folgt umgeformt werden: $z_6^2 = {z_3} = {\rm e}^{-{\rm j} 90^{ \circ}}.$

Man erkennt, dass es zwei Möglichkeiten für $z_6$ gibt, die diese Gleichung erfüllen:

$z_6 \hspace{0.1cm}{\rm (1.\hspace{0.1cm} L\ddot{o}sung)}\hspace{0.1cm} = \frac{z_2}{2} = 1 \cdot {\rm e}^{{\rm j} 135^{ \circ}} \hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm} \phi_6 \hspace{0.15cm}\underline{= 135^{ \circ}}, $

$z_6 \hspace{0.1cm}{\rm (2.\hspace{0.1cm} L \ddot{o}sung)}\hspace{0.1cm} = {z_1} = 1 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} 45^{ \circ}} \hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm} \phi_6 \hspace{0.15cm}\underline{=-45^{ \circ}}.$

5. Die komplexe Größe $z_2$ lautet in Realteil/imaginärteildarstellung:

$z_2 = x_2 + {\rm j} \cdot y_2 = -\sqrt{2} + {\rm j} \cdot\sqrt{2}.$

Damit ergibt sich für die komplexe Exponentialfunktion\[z_7 = {\rm e}^{-\sqrt{2} + {\rm j}\cdot \sqrt{2}}= {\rm e}^{-\sqrt{2} } \cdot \left( \cos (\sqrt{2}) + {\rm j} \cdot \sin (\sqrt{2})\right).\]

Mit ${\rm e}^{-\sqrt{2} } = 0.243, \hspace{0.2cm} \cos (\sqrt{2}) = 0.156, \hspace{0.2cm} \sin (\sqrt{2}) = 0.988$ erhält man somit:

$z_7 = 0.243 \cdot \left( 0.156 + {\rm j} \cdot 0.988\right) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.038 + {\rm j} \cdot 0.24}.$

6. Ausgehend vom Ergebnis der Teilaufgabe (4) erhält man für $z_8$:

$z_8 = {\rm e}^{-\sqrt{2} } \cdot \left( \cos (\sqrt{2}) + {\rm j} \cdot \sin (\sqrt{2}) + \cos (\sqrt{2}) - {\rm j} \cdot \sin (\sqrt{2})\right) = 2 \cdot {\rm e}^{-\sqrt{2} } \cdot \cos (\sqrt{2}) = 2 \cdot x_7 $

$\hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm} x_8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.076}, \hspace{0.1cm}y_8\hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$

	\(2 \cdot z_1 + z_2 =0.\)
	\(z_1^{\ast} \cdot z_2 +2=0.\)
	\((z_1/z_2) \cdot z_3\) ist rein reell.