Exercise 1.7: Coding for Broadband ISDN
Bei herkömmlichem ISDN über Kupferleitungen wird der HDB3–Code verwendet – siehe Aufgabe 1.5:
Dieser wurde vom so genannten AMI–Code abgeleitet,
- ist wie dieser ein Pseudoternärcode,
- vermeidet aber mehr als drei aufeinander folgende „$0$”–Symbole,
- indem die strengere AMI–Codierregel bei längeren Nullfolgen bewusst verletzt wird.
Die Grafik zeigt das HDB3–codierte Signal $c(t)$, das sich aus dem binären redundanzfreien Quellensignal $q(t)$ ergibt. Da im Quellensignal nicht mehr als drei aufeinanderfolgende Nullen auftreten, ist $c(t)$ identisch mit dem AMI–codierten Signal.
Das Ende der 1990–Jahre geplante Breitband–ISDN sollte Datenraten bis 155 Mbit/s bereitstellen im Vergleich zu 144 kbit/s des herkömmlichen ISDN mit zwei B–Kanälen und einem D–Kanal. Um diese höhere Datenrate zu erreichen, musste
- zum einen eine neuere Technik (ATM) verwendet werden,
- zum zweiten aber auch das Übertragungsmedium gewechselt werden, von der Kupferleitung zur Glasfaser.
Da das HDB3–codierte Signal $c(t) ∈ \{–1, \ 0, +1\}$ aber mittels Licht nicht übertragen werden kann, war eine zweite Codierung erforderlich. Der hierfür vorgesehene 1T2B–Code ersetzt jedes Ternärsymbol durch zwei Binärsymbole. Das untere Diagramm zeigt beispielhaft das Binärsignal $b(t) ∈ \{0, 1\}$, das sich nach dieser 1T2B–Codierung aus dem Signal $c(t)$ ergibt.
Gehen Sie bei dieser Aufgabe davon aus, dass die Bitrate des redundanzfreien Quellensignals $q(t)$ gleich $R_{q} = 2.048 \ \rm Mbit/s$ beträgt. Die jeweiligen Symboldauern der Signale $q(t), c(t)$ und $b(t)$ werden mit $T_{q}$, $T_{c}$ und $T_{b}$ bezeichnet.
Die äquivalente Bitrate des pseudoternären Signals $c(t)$ ist $R_{c} = {\rm log_2}(3)/T_{c}$, woraus mit der Bitrate $R_{q} = 1/T_{q}$ des Quellensignals die relative Redundanz des AMI– bzw. des HDB3–Codes berechnet werden kann:
- $$r_{\rm HDB3} = \frac{R_c - R_q}{R_c}= 1 - \frac{T_c \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}(M_q)}{T_q \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}(M_c)} \hspace{0.05cm}.$$
Für den 1T2B–Code kann eine ähnliche Gleichung aufgestellt werden, ebenso wie für die beiden Codes in Kombination.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Weiterentwicklungen von ISDN.
- Die Redundanz wird im Kapitel Grundlagen der codierten Übertragung des Buches „Digitalsignalübertragung” definiert und an Beispielen verdeutlicht.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Richtig ist Lösungsvorschlag 2, wie ein Vergleich der Signalverläufe $c(t)$ und $b(t)$ zeigt.
(2) Die Symboldauer (Bitdauer) von $q(t)$ beträgt $T_{q} \underline{ = 1/R_{q} = 0.488 \ \rm \mu s}$.
- Die Symboldauer des AMI–Codes (und des HDB3–Codes) ist genau so groß: $T_{c} \underline{ = 0.488 \ \rm \mu s}$.
- Dagegen ist die Symboldauer (Bitdauer) nach der 1T2B–Codierung nur halb so groß: $T_{b} = T_{c}/2 \underline{= 0.244 \ \rm \mu s}$.
(3) Mit der angegebenen Gleichung ergibt sich mit $M_{q} = 2, M_{c} = 3$ und $T_{c} = T_{q}$:
- $$r_{\rm HDB3} = 1 - \frac{T_c \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}(M_q)}{T_q \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}(M_c)} = 1 - \frac{1}{{\rm log_2}\hspace{0.1cm}(3)} \hspace{0.15cm}\underline{= 36.9\,\%} \hspace{0.05cm}.$$
(4) Passt man die Gleichung an den 1T2B–Code an, so erhält man mit $M_{c} = 3, M_{b} = 2, T_{b} = T_{c}/2$:
- $$r_{\rm 1T2B} = 1 - \frac{T_b \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}(M_c)}{T_c \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}(M_b)} = 1 - \frac{{\rm log_2}\hspace{0.1cm}(3)}{2} \hspace{0.15cm}\underline{= 20.7\,\%} \hspace{0.05cm}.$$
(5) Die resultierende Redundanz beider Codes erhält man, wenn man die angegebene Gleichung auf das Eingangssignal $q(t)$ und das Ausgangssignal $c(t)$ bezieht. Mit $M_{q} = M_{b} = 2$ und $T_{b} = T_{q}/2$ folgt daraus:
- $$r_{\rm HDB3+1T2B} = 1 - \frac{T_b \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}(M_q)}{T_q \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}(M_b)} = 1 - \frac{T_b}{T_q} \hspace{0.15cm}\underline{= 50\,\%} \hspace{0.05cm}.$$
Zum gleichen Ergebnis kommt man über die Rechnung
- $$1-r_{\rm HDB3+1T2B} \ = \ (1-r_{\rm HDB3}) \cdot (1-r_{\rm 1T2B}) =(1- 1 +\frac{1}{{\rm log_2}\hspace{0.1cm}(3)}) \cdot (1-1+ \frac{{\rm log_2}\hspace{0.1cm}(3)}{2}) = 50\,\% \hspace{0.05cm}.$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm}r_{\rm HDB3+1T2B}= 50\,\% \hspace{0.05cm}.$$
