Exercise 3.2: CDF for Exercise 3.1

Cosinus–Quadrat–VTF (oben),
Dirac–VTF (unten)

Es gelten die gleichen Voraussetzungen wie für die Aufgabe 3.1.

Die WDF der wertkontinuierlichen Zufallsgröße ist in den Bereichen $|x| > 2$ identisch Null, und im Bereich $-2 \le x \le +2$ gilt:

$$f_x(x)={1}/{2}\cdot \cos^2({\pi}/{4}\cdot x).$$

Auch die diskrete Zufallsgröße $y$ ist auf den Bereich $\pm 2$ begrenzt. Hier gelten folgende Wahrscheinlichkeiten:

$${\rm \Pr}(y=0)=0.4,$$

$${\rm \Pr}(y=+1)={\rm \Pr}(y=-1)=0.2,$$

$${\rm \Pr}(y=+2)={\rm \Pr}(y=-2)=0.1.$$

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.

Gegeben ist die folgende Gleichung:

$$\int \cos^{\rm 2}( ax)\, {\rm d}x=\frac{x}{2}+\frac{1}{4 a}\cdot \sin(2 ax).$$

Eine Zusammenfassung der hier behandelten Thematik bietet das Lernvideo Zusammenhang zwischen WDF und VTF.

Fragebogen

	Die VTF ist für alle Werte $r \le -2$ gleich $F_x(r) \equiv 0$.
	Die VTF ist für alle Werte $r \ge +2$ gleich $F_x(r) \equiv 1$.
	Der Verlauf von $F_x(r)$ ist monoton steigend.

	Die VTF ist für alle Werte $r \le -2$ gleich $F_y(r) \equiv 0$.
	Die VTF ist für alle Werte $r \ge +2$ gleich $F_y(r) \equiv 1$.
	Der Verlauf von $F_y(r)$ ist monoton steigend.

$F_x(r=+1) \ = \ $

$F_x(r=-1) \ = \ $

${\rm Pr}(|\hspace{0.05cm}x\hspace{0.05cm}| < 1) \ = \ $

$F_y(r = 0)\ = \ $

Musterlösung

Solution

(1) Da $x$ eine kontinuierliche Zufallsgröße und auf den Bereich $|\hspace{0.05cm}x\hspace{0.05cm}|$ < 2 begrenzt ist, sind alle drei vorgegebenen Aussagen richtig.

(2) Richtig sind hier nur die Aussagen 2 und 3:

Bei einer diskreten Zufallsgröße steigt die Verteilungsfunktion nur schwach monoton an.
Dsas heißt: Es gibt außer Sprüngen ausschließlich horizontale Abschnitte der VTF.
Da an den Sprungstellen jeweils der rechtsseitige Grenzwert gilt, ist demzufolge $F_y(-2) = 0.1$, also ungleich $0$.

(3) Die VTF $F_x(r)$ berechnet sich als das Integral von $-\infty$ bis $r$ über die WDF $f_x(x)$.

Aufgrund der Symmetrie kann hierfür im Bereich $0 \le r \le +2$ geschrieben werden:

$$F_{x} (r) =\frac{1}{2} + \int_{0}^{r} f_x(x)\;{\rm d}x = \frac{1}{2} + \int_{0}^{ r} {1}/{2}\cdot \cos^2 ({\pi}/{4}\cdot x)\;{\rm d}x.$$

In gleicher Weise wie bei der Teilaufgabe (7) der Aufgabe 3.1 erhält man somit:

$$F_{x} (r) =\frac{1}{2} + \frac{ r}{ 4} + \frac{1}{2 \pi} \cdot \sin({\pi}/{2}\cdot r),$$

$$F_{x} (r=0) =\rm \frac{1}{2} + \rm \frac{1}{2 \pi} \cdot\rm sin(\rm 0)\hspace{0.15cm}{= 0.500},$$

$$F_{x} (r=1) =\rm \frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm 4} + \rm \frac{1}{2 \pi}\cdot \rm sin({\pi}/{2})\hspace{0.15cm}\underline{=0.909},$$

$$F_{x} (r=2) =\rm \frac{1}{2} + \frac{\rm1}{\rm 2} + \rm \frac{1}{2 \pi} \cdot \rm sin(\pi)\hspace{0.15cm}{= 1.000}.$$

(4) Aufgrund der Punktsymmetrie um $r=0$ bzw. $F_{x} (0) = 1/2$ und wegen $\sin(-x) = -\sin(x)$ gilt diese Formel im gesamten Bereich, wie die folgende Kontrollrechnung zeigt:

$$F_{x} (r=-2) =\rm \frac{1}{2} - \frac{\rm1}{\rm 2} - \rm \frac{1}{2 \pi} \cdot\rm sin(\pi)=0,$$

$$F_{x} (r=-1) =\rm \frac{1}{2} - \frac{\rm1}{\rm 4} - \rm \frac{1}{2 \pi} \cdot\rm sin({\pi}/{2})\hspace{0.15cm}\underline{= 0.091}.$$

(5) Für die Wahrscheinlichkeit, dass $x$ zwischen $-1$ und $+1$ liegt, gilt:

$${\rm Pr}(|\hspace{0.05cm}x\hspace{0.05cm}|< 1)= F_{x}(+1) - F_{ x}(-1)= 0.909-0.091\hspace{0.15cm}\underline{= 0.818}.$$

Dieses Ergebnis stimmt exakt mit dem Resultat der Teilaufgabe (7) der Aufgabe 3.1 überein, das durch direkte Integration über die WDF ermittelt wurde.

(6) Die VTF der diskreten Zufallsgröße $y$ an der Stelle $y =0$ ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten von $-2$, $-1$ und $0$, also gilt

$$F_y(r = 0)\hspace{0.15cm}\underline{= 0.7}.$$