Exercise 4.4: About the Quantization Noise

Quantisierungsfehler bei sägezahnförmigem Eingang

Zur Berechnung der Quantisierungsrauschleistung $P_{\rm Q}$ gehen wir von einem periodischen sägezahnförmigen Quellensignal $q(t)$ mit dem Wertebereich $±q_{\rm max}$ und der Periodendauer $T_0$ aus.

Im mittleren Zeitbereich $-T_0/2 ≤ t ≤ T_0/2$ gilt: $q(t) = q_{\rm max} \cdot \left ( {2 \cdot t}/{T_0} \right ).$
Die Leistung des Signals $q(t)$ bezeichnen wir hier als die Sendeleistung $P_{\rm S}$.

Das Signal $q(t)$ wird gemäß der Grafik mit $M = 6$ Stufen quantisiert. Das quantisierte Signal ist $q_{\rm Q}(t)$, wobei gilt:

Der lineare Quantisierer ist für den Amplitudenbereich $±Q_{\rm max}$ ausgelegt, so dass jedes Quantisierungsintervall die Breite ${\it Δ} = 2/M · Q_{\rm max}$ aufweist.
Die Grafik zeigt diesen Sachverhalt für $Q_{\rm max} = q_{\rm max} = 6 \ \rm V$. Von diesen Zahlenwerten soll bis einschließlich Teilaufgabe (5) ausgegangen werden.

Die so genannte Quantisierungsrauschleistung ist als der quadratische Mittelwert des Differenzsignals $ε(t) = q_{\rm Q}(t) - q(t)$ definiert. Es gilt

$$P_{\rm Q} = \frac{1}{T_0' } \cdot \int_{0}^{T_0'}\varepsilon(t)^2 \hspace{0.05cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm},$$

wobei die Zeit $T_0'$ geeignet zu wählen ist.

Als Quantisierungs–SNR bezeichnet man das Verhältnis $\rho_{\rm Q} = {P_{\rm S}}/{P_{\rm Q}}\hspace{0.05cm},$ das meist logarithmisch (in dB) angegeben wird.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Pulscodemodulation.
Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Quantisierung und Quantisierungsrauschen.

Fragebogen

$P_{\rm S} \ = \ $

$\ \rm V^2$

	$ε(t)$ hat einen sägezahnförmigen Verlauf.
	$ε(t)$ hat einen stufenförmigen Verlauf.
	$ε(t)$ ist auf den Bereich $±{\it Δ}/2 = ±1 \ \rm V$ beschränkt.
	$ε(t)$ besitzt die Periodendauer $T_0' = T_0/M$.

$P_{\rm Q} \ = \ $

$\ \rm V^2$

$10 · \lg \ ρ_{\rm Q} \ = \ $

$\ \rm dB$

$N = 8\text{:}\hspace{0.35cm}10 · \lg \ ρ_{\rm Q} \ = \ $

$\ \rm dB$

$N = 16\text{:}\hspace{0.15cm}10 · \lg \ ρ_{\rm Q} \ = \ $

$\ \rm dB$

	Alle Amplitudenwerte sind gleichwahrscheinlich.
	Es liegt ein linearer Quantisierer vor.
	Der Quantisierer ist genau an das Signal angepasst $(Q_{\rm max} = q_{\rm max})$.

Musterlösung

Solution

(1) Die Signalleistung $P_{\rm S} $ ist gleich dem quadratischen Mittelwert von $q(t)$, wenn der Bezugswiderstand $1 \ \rm Ω$ verwendet und deshalb für die Leistung die Einheit $\ \rm V^2$ in Kauf genommen wird. Aufgrund der Periodizität und der Symmetrie genügt die Mittelung über den Zeitbereich $T_0/2$:

$$P_{\rm S} = \frac{1}{T_0/2} \cdot \int_{0}^{T_0/2}q^2(t) \hspace{0.05cm}{\rm d}t = \frac{2 \cdot q_{\rm max}^2}{T_0} \cdot \int_{0}^{T_0/2}\left ( { 2 \cdot t}/{T_0} \right )^2 \hspace{0.05cm}{\rm d}t= \frac{2 \cdot q_{\rm max}^2}{T_0} \cdot \frac{T_0}{2} \cdot \int_{0}^{1}x^2 \hspace{0.05cm}{\rm d}x = \frac{q_{\rm max}^2}{3} \hspace{0.05cm}.$$

Hierbei wurde die Substitution $x = 2 · t/T_0$ verwendet. Mit $q_{\rm max} = 6 \ \rm V$ erhält man $P_\rm S = 12 \ V^2$.

Fehlersignal für $Q_{\rm max} = q_{\rm max}$

(2) Richtig sind also die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4:

Wir gehen hier von $Q_{\rm max} = q_{\rm max} = 6 \ \rm V$ aus.
Damit ergibt sich das sägezahnförmige Fehlersignal $ε(t)$ zwischen $±1\ \rm V$.
Die Periodendauer ist $T_0' = T_0/6$.

(3) Das Fehlersignal $ε(t)$ verläuft ebenso wie $q(t)$ sägezahnförmig. Somit eignet sich zur Berechnung des quadratischen Mittelwertes dieselbe Gleichung wie in Teilaufgabe (1). Zu beachten ist allerdings die um den Faktor $M$ kleinere Amplitude, während die unterschiedliche Periodendauer für die Mittelung keine Rolle spielt:

$$P_{\rm Q} = \frac{P_{\rm S}}{M^2} = \frac{12\,{\rm V}^2}{36}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.333\,{\rm V}^2 }\hspace{0.05cm}.$$

(4) Die Ergebnisse der Teilaufgaben (1) und (3) führen zum Quantisierungs–SNR:

$$\rho_{\rm Q} = \frac{P_{\rm S}}{P_{\rm Q}} = M^2 = 36 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm Q}\hspace{0.15cm}\underline { =15.56\,{\rm dB}} \hspace{0.05cm}.$$

(5) Mit $M = 2^N$ erhält man allgemein:

$$ \rho_{\rm Q} = M^2 = 2^{2N} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm Q} =20 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}(2)\cdot N \hspace{0.15cm}\underline {\approx 6.02\,{\rm dB}} \cdot N .$$

Daraus ergeben sich die gesuchten Sonderfälle:

$$N = 8:\hspace{0.2cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm Q} \hspace{0.15cm}\underline {= 48.16\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm},$$

$$N = 16:\hspace{0.2cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm Q} \hspace{0.15cm}\underline { = 96.32\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$

(6) Alle genannten Voraussetzungen müssen erfüllt sein:

Bei nichtlinearer Quantisierung gilt der einfache Zusammenhang $ρ_{\rm Q} = M^2$ nicht.
Bei einer anderen Amplitudenverteilung als der Gleichverteilung ist $ρ_{\rm Q} = M^2$ ebenfalls nur eine Näherung, die jedoch meist in Kauf genommen wird.
Ist $Q_{\rm max} < q_{\rm max}$, so kommt es zu einem Abschneiden der Spitzen, während mit $Q_{\rm max} > q_{\rm max}$ die Quantisierungsintervalle größer sind als erforderlich.

Quantisierung mit $Q_{\rm max} \ne q_{\rm max}$

Die Grafik zeigt die Fehlersignale $ε(t)$ für $Q_{\rm max} > q_{\rm max}$ (links) und $Q_{\rm max} < q_{\rm max}$ (rechts). In beiden Fällen ergibt sich eine deutlich größere Quantisierungsrauschleistung als unter Punkt (3) berechnet.