Exercise 3.4: Entropy for Different PMF
In der ersten Zeile der nebenstehenden Tabelle ist die im Folgenden die mit $\rm (a)$ bezeichnete Wahrscheinlichkeitsfunktion angegeben. Für diese PMF $P_X(X) = \big [0.1, \ 0.2, \ 0.3, \ 0.4 \big ]$ soll in der Teilaufgabe (1) die Entropie berechnet werden:
- $$H_{\rm a}(X) = {\rm E} \big [ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{P_{X}(X)}\big ]= - {\rm E} \big [ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm}{P_{X}(X)}\big ].$$
Da hier der Logarithmus zur Basis $2$ verwendet wird, ist die Pseudo–Einheit „bit” anzufügen.
In den weiteren Aufgaben sollen jeweils einige Wahrscheinlichkeiten variiert werden und zwar derart, dass sich jeweils die größtmögliche Entropie ergibt:
- Durch geeignete Variation von $p_3$ und $p_4$ kommt man zur maximalen Entropie $H_{\rm b}(X)$ unter der Voraussetzung $p_1 = 0.1$ und $p_2 = 0.2$ ⇒ Teilaufgabe (2).
- Durch geeignete Variation von $p_2$ und $p_3$ kommt man zur maximalen Entropie $H_{\rm c}(X)$ unter der Voraussetzung $p_1 = 0.1$ und $p_4 = 0.4$ ⇒ Teilaufgabe (3).
- In der Teilaufgabe (4) sind alle vier Parameter zur Variation freigegeben, die entsprechend der maximalen Entropie ⇒ $H_{\rm max}(X)$ zu bestimmen sind.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Einige Vorbemerkungen zu den 2D-Zufallsgrößen.
- Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seite Wahrscheinlichkeitsfunktion und Entropie.
Fragebogen
Musterlösung
- $$H_{\rm a}(X) = 0.1 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.1} + 0.2 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.2} + 0.3 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.3} + 0.4 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.4} \hspace{0.15cm} \underline {= 1.846} \hspace{0.05cm}.$$
Hier (und bei den anderen Aufgaben) ist jeweils die Pseudo–Einheit „bit” anzufügen.
(2) Die Entropie $H_{\rm b}(X)$ lässt sich als Summe zweier Anteile $H_{\rm b1}(X)$ und $H_{\rm b2}(X)$ darstellen, mit:
- $$H_{\rm b1}(X) = 0.1 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.1} + 0.2 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.2} = 0.797 \hspace{0.05cm},$$
- $$H_{\rm b2}(X) = p_3 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{p_3} + (0.7-p_3) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.7-p_3} \hspace{0.05cm}.$$
- Die zweite Funktion ist maximal für $p_3 = p_4 = 0.35$. Ein ähnlicher Zusammenhang hat sich bei der binären Entropiefunktion ergeben.
- Damit erhält man:
- $$H_{\rm b2}(X) = 2 \cdot p_3 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{p_3} = 0.7 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.35} = 1.060 $$
- $$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} H_{\rm b}(X) = H_{\rm b1}(X) + H_{\rm b2}(X) = 0.797 + 1.060 \hspace{0.15cm} \underline {= 1.857} \hspace{0.05cm}.$$
(3) Analog zur Teilaufgabe (2) ergibt sich mit $p_1 = 0.1$ und $p_4 = 0.4$ das Maximum für $p_2 = p_3 = 0.25$:
- $$H_{\rm c}(X) = 0.1 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.1} + 2 \cdot 0.25 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.25} + 0.4 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.4} \hspace{0.15cm} \underline {= 1.861} \hspace{0.05cm}.$$
(4) Die maximale Entropie für den Symbolumfang $M=4$ ergibt sich bei gleichen Wahrscheinlichkeiten, also für $p_1 = p_2 = p_3 = p_4 = 0.25$:
- $$H_{\rm max}(X) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} M \hspace{0.15cm} \underline {= 2} \hspace{0.05cm}.$$
- Die Differenz der Entropien entsprechend (4) und (3) ergibt ${\rm \Delta} H(X) = 0.139 \ \rm bit$. Hierbei gilt:
- $${\rm \Delta} H(X) = 1- 0.1 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.1} - 0.4 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.4} \hspace{0.05cm}.$$
- Mit der binären Entropiefunktion
- $$H_{\rm bin}(p) = p \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{p} + (1-p) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{1-p}$$
- lässt sich hierfür auch schreiben:
- $${\rm \Delta} H(X) = 0.5 \cdot \big [ 1- H_{\rm bin}(0.2) \big ] = 0.5 \cdot \big [ 1- 0.722 \big ] = 0.139 \hspace{0.05cm}.$$
