Exercise 3.2Z: Relationship between PDF and CDF
From LNTwww
Gegeben ist die Zufallsgröße $x$ mit der Verteilungsfunktion
- $$ F_x(r)=\left\{\begin{array}{*{4}{c}} 0.25\cdot {\rm e}^{2\it r} &\rm f\ddot{u}r\hspace{0.1cm}\it r<\rm 0, \\ 1-0.25\cdot {\rm e}^{-2\it r} & \rm f\ddot{u}r\hspace{0.1cm}\it r\ge\rm 0. \\\end{array}\right.$$
- Diese Funktion ist rechts dargestellt.
- Es ist zu erkennen, dass an der Sprungstelle $r = 0$ der rechtsseitige Grenzwert gültig ist.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Verteilungsfunktion.
- Bezug genommen wird auch auf das Kapitel Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.
- Eine Zusammenfassung der hier behandelten Thematik bietet das Lernvideo Zusammenhang zwischen WDF und VTF.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Die Aussagen 1, 3 und 4 sind immer richtig:
- Ein horizontaler Abschnitt in der VTF weist darauf hin, dass die Zufallsgröße in diesem Bereich keine Werte besitzt.
- Dagegen weist ein vertikaler Abschnitt in der VTF auf eine Diracfunktion in der WDF $($an gleicher Stelle $x_0)$ hin.
- Dies bedeutet, dass die Zufallsgröße den Wert $x_0$ sehr häufig annimmt, nämlich mit endlicher Wahrscheinlichkeit.
- Alle anderen Werte treten exakt mit der Wahrscheinlichkeit $0$ auf.
- Ist jedoch $x$ auf den Bereich von $x_{\rm min}$ bis $x_{\rm max}$ begrenzt, so ist $F_x(r) = 0$ für $r < x_{\rm min}$ und $F_x(r) = 1$ für $r > x_{\rm max}$.
- In diesem Sonderfall wäre auch die zweite Aussage zutreffend.
(2) Die gesuchte Wahrscheinlichkeit kann man aus der Differenz der VTF–Werte an den Grenzen berechnen:
- $${\rm Pr}( x> 0)= F_x(\infty)- F_x(\rm 0) \hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.25}.$$
(3) Für die Wahrscheinlichkeit, dass $x$ größer als $0.5$ ist, gilt:
- $${\rm Pr}(x> 0.5)=1- F_x(0.5)=\rm 0.25\cdot e^{-1} \hspace{0.15cm}{\approx0.092}. $$
- Aus Symmetriegründen ist ${\rm Pr}(x<- 0.5)$ genauso groß. Daraus folgt:
- $${\rm Pr}( |\hspace{0.05cm} x\hspace{0.05cm}| >\rm 0.5) \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.184}.$$
(4) Die WDF erhält man aus der zugehörigen VTF durch Differenzieren der zwei Bereiche.
- Es ergibt sich eine zweiseitige Exponentialfunktion sowie eine Diracfunktion bei $x = 0$ :
- $$f_x(x)=\rm 0.5\cdot \rm e^{-2\cdot |\hspace{0.05cm}\it x\hspace{0.05cm}|} + \rm 0.5\cdot\delta(\it x).$$
- Der gesuchte Zahlenwert ist $f_x(x = 1)\hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.0677}$.
Hinweis: Die zweiseitige Exponentialverteilung nennt man auch „Laplaceverteilung”.
(5) Im Bereich um $1$ beschreibt $x$ eine kontinuierliche Zufallsgröße.
- Die Wahrscheinlichkeit, dass $x$ exakt den Wert $1$ aufweist, ist deshalb ${\rm Pr}(x = 1)\hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0}.$
(6) In $50\%$ der Zeit wird $x = 0$ gelten: ${\rm Pr}(x = 0)\hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.5}.$
Hinweise:
- Die WDF eines Sprachsignals wird häufig durch eine zweiseitige Exponentialfunktion beschrieben.
- Die Diracfunktion bei $x = 0$ berücksichtigt vor allem Sprachpausen – hier in $50\%$ aller Zeiten.