Double-Sideband Amplitude Modulation

# OVERVIEW OF SECOND MAIN CHAPTER #

$\Rightarrow \hspace{0.5cm}\text{We are just beginning the English translation of this chapter.}$

After some general explanations of modulation and demodulation, a detailed description of amplitude modulation and their associated demodulators. This chapter deals in detail with:

the description and realization of double-sideband amplitude modulation (DSB–AM) in the frequency and time domains,
the characteristics of a synchronous demodulator and the possible applications of an envelope demodulator,
the similarities/differences of single-sideband modulation compared to DSB-AM and modified AM methods.

Description in the frequency domain

We consider the following problem: a message signal $q(t)$, whose spectrum $Q(f)$ is bandlimited to the range $\pm B_{\rm NF}$ (subscript NF from German "Niederfrequenz" ⇒ low frequency), is to be shifted to a higher frequency range where the channel frequency response $H_{\rm K}(f)$ has favorable characteristics, using a harmonic oscillation of frequency $f_{\rm T}$, which we will refer to as the carrier signal $z(t)$ .

Representation of amplitude modulation in the frequency domain

The diagram illustrates the task, with the following simplifying assumptions:

The spectrum $Q(f)$ drawn here is schematic. It states that only spectral components in the range $|f| ≤ B_{\rm NF}$ are included in $q(t)$ . $Q(f)$ could also be a line spectrum.
Let the channel be ideal in a bandwidth range $B_{\rm K}$ around frequency $f_{\rm M}$ , that is, let $H_{\rm K}(f) = 1$ for $|f - f_{\rm M}| ≤ B_{\rm K}/2.$ Noise interference is ignored for now.
Let the carrier signal be cosine $($phase $ϕ_T = 0)$ and have amplitude $A_{\rm T} = 1$ (without a unit). Let the carrier frequency $f_{\rm T}$ be equal to the center frequency of the transmission band.
Thus, the spectrum of the carrier signal $z(t) = \cos(ω_{\rm T} · t)$ (plotted in green in the graph) is:

$$Z(f) = {1}/{2} \cdot \delta (f + f_{\rm T})+{1}/{2} \cdot \delta (f - f_{\rm T})\hspace{0.05cm}.$$

Those familiar with the laws of spectral transformation and in particular with the Convolution Theorem can immediately give a solution for the spectrum $S(f)$ of the modulator output signal:

$$S(f)= Z(f) \star Q(f) = 1/2 \cdot \delta (f + f_{\rm T})\star Q(f)+1/2 \cdot \delta (f - f_{\rm T})\star Q(f) = 1/2 \cdot Q (f + f_{\rm T})+ 1/2 \cdot Q(f - f_{\rm T}) \hspace{0.05cm}.$$

$\text{Please note:}$ This equation takes into account that the convolution of a shifted Dirac function $δ(x – x_0)$ with an arbitrary function $f(x)$ yields the shifted function $f(x - x_0)$ .

Spectrum of DSB-AM without a carrier

The diagram displays the result. One can identify the following characteristics:

Due to the system-theoretic approach with positive and negative frequencies, $S(f)$ is composed of two parts around $\pm f_{\rm T}$ , each of which have the same shape as $Q(f)$ .
The factor $1/2$ results from the carrier amplitude $A_{\rm T} = 1$. Thus, $s(t = 0) = q(t = 0)$, and the integrals over their spectral functions $S(f)$ and $Q(f)$ must also be equal.
The channel bandwidth $B_{\rm K}$ must be at least twice the signal bandwidth $B_{\rm NF}$, which gives the name "double-sideband amplitude modulation"(DSB–AM).
It should be noted that $B_{\rm NF}$ and $B_{\rm K}$ are absolute and non-equivalent bandwidths. The latter are defined over rectangles of equal area and are denoted by $Δf_q$ and $Δf_{\rm K}$ in our tutorial, respectively.
The Spectral function $S(f)$ does not include any Dirac-lines at the carrier frequency $(\pm f_{\rm T})$. Therefore, this method is also referred to as "DSB-AM without carrier".
The frequency components above the carrier frequency $f_{\rm T}$ are called the upper sideband (USB), and those below $f_{\rm T}$ are the lower sideband (LSB).

Description in the time domain

Adapting the notation and nomenclature to this problem, the convolution theorem reads:

$$S(f) = Z(f) \star Q(f)\hspace{0.2cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.2cm} s(t) = q(t) \cdot z(t) = q(t) \cdot \cos(\omega_{\rm T}\cdot t + \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm}.$$

This result is still true if the restrictions made on the last page $($real-valued spectrum $Q(f)$, carrier phase $ϕ_{\rm T} = 0)$ are removed. In general, this results in a complex-valued spectral function $S(f)$.

Models of DSB–AM without a carrier

According to this equation, two models can be given for double-sideband amplitude modulation. These are to be interpreted as follows:

The first model directly describes the relationship given above, where here the carrier $z(t) = \cos(ω_{\rm T}t + ϕ_{\rm T})$ is applied without a unit.
The second model is more in line with the physical conditions, after each signal also has a unit. If $q(t)$ and $z(t)$ are voltages respectively, the model still needs to provide a scaling with the modulator constant $K_{\rm AM}$ (unitso that the output signal $s(t)$ also represents a voltage waveform.
If we set $K_{\rm AM} = 1/A_{\rm T}$, both models are the same. In the following, we will always assume the simpler model.

Signal waveforms in DSB–AM without a carrier

$\text{Example 1:}$ The graph shows in red the transmitted signals $s(t)$ for DSB–AM with two different carrier frequencies.

The source signal $q(t)$ with bandwidth $B_{\rm NF} = 4\text{ kHz}$, which is the same in both cases, is drawn in solid blue and the signal $-q(t)$&nbsp is dashed.
The carrier signal $z(t)$ has a cosine shape in both cases.
In the upper image, the carrier frequency is $f_{\rm T} = 20\text{ kHz}$ and the lower image $f_{\rm T} = 100\text{ kHz}$.

Ring modulator

One possibility to realize "double sideband amplitude modulation with carrier suppression" is offered by a so-called ring modulator, also known as double push-pull diode modulator. Below you can see the circuit on the left and a simple functional diagram on the right.

Ring modulator to realize DSB–AM without a carrier

Without claiming to be complete, the principle can be stated as follows:

Let the amplitude of the harmonic carrier oscillation $z(t)$ be much larger than the maximum value $q_{\rm max}$ of the message signal $q(t)$. Thus, all diodes are operated as switches.
When the half-wave of the carrier is positive $(z(t) > 0)$ the two magenta diodes conduct while the light green ones block. Thus, without considering losses, $s(t) = q(t)$ holds.
For a negative half-wave, the light green diodes conduct and the diodes in the longitudinal branches block. As can be seen from the right image,;$s(t) = \ – q(t)$ holds for this lower switch position.
Due to the operation of this switch, the harmonic oscillation $z(t)$ can also be replaced by a periodic square wave signal with identical period duration:

$$z_{\rm R}(t) = \left\{ \begin{array}{c} +1 \\ -1 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{10}c} {\rm{for}} \\ {\rm{for}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {z(t) >0,} \\ {z(t) <0.} \\ \end{array}$$

The modulated signal $s(t)$ is then obtained as the product of the message signal $q(t)$ and this square wave signal $z_{\rm R}(t)$, whereas in ideal DSB-AM one multiplies by a cosine signal.
The carrier $z(t)$ is not itself included in the signal $s(t)$. Since this is supplied via the center taps of the transformers, the induced voltages cancel out ("DSB-AM without a carrier").

$\text{Example 2:}$ Now we will explain the mode of operation of a ring modulator using typical signal characteristics. Let the carrier frequency be $f_{\rm T} = 10\text{ kHz}$.

Signals to illustrate a ring modulator

The top graph shows the signals $q(t)$ and $-q(t)$ as magenta and light green waveforms respectively.

The bipolar square wave signal $z_{\rm R}(t)$ is shown in blue dashes, and takes the values $±1$ .

The middle chart shows the modulated signal from the ring modulator:

$$s_{\rm RM}(t) = q(t) · z_{\rm R}(t).$$

For comparison, the conventional DSB-AM signal is shown in the bottom graph:

$$s(t) = q(t) · \cos(ω_{\rm T} · t).$$

One can see significant differences, but these can be compensated for in a simple way:

The Fourier series representation of the periodic square wave signal $z_{\rm R}(t)$ is:

$$z_{\rm R}(t) = \frac{4}{\pi} \cdot \cos(\omega_{\rm T}\cdot t)-\frac{4}{3\pi} \cdot \cos(3\omega_{\rm T}\cdot t) +\frac{4}{5\pi} \cdot \cos(5\omega_{\rm T}\cdot t)- \text{ ...}$$

The associated spectral function consists of Dirac lines at $±f_{\rm T}, ±3f_{\rm T}, ±5f_{\rm T}$, etc. Convolution with $Q(f)$ leads to the spectral function (the subscript stands for "ring modulator"):

$$S_{\rm RM}(f) = \frac{2}{\pi} \cdot Q (f \pm f_{\rm T})-\frac{2}{3\pi} \cdot Q (f \pm 3f_{\rm T})+\frac{2}{5\pi} \cdot Q (f \pm 5f_{\rm T}) -\text{ ...} \hspace{0.05cm}$$

From this, it can be seen that by appropriately band-limiting $($for example, to $±2f_{\rm T})$ and attenuating with $π/4 ≈ 0.785$ the familiar DSB-AM spectrum can be obtained:

$$S(f) = {1}/{2} \cdot Q (f \pm f_{\rm T})\hspace{0.05cm}.$$

Here it must be taken into account that in the above reasoning, $B_{\rm NF} \ll f_{\rm T}$ can always be assumed.

AM signals and spectra with a harmonic input signal

Now we will consider a special case, which is important for testing purposes, where not only the carrier signal $z(t)$ is a harmonic oscillation, but also the message signal to be modulated $q(t)$ :

$$\begin{align*}q(t) & = A_{\rm N} \cdot \cos(\omega_{\rm N} \cdot t + \phi_{\rm N})\hspace{0.05cm}, \\ \\ z(t) & = \hspace{0.15cm}1 \hspace{0.13cm} \cdot \hspace{0.1cm}\cos(\omega_{\rm T} \cdot t + \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm}.\end{align*}$$

Please note: since we are describing modulation processes, the phase term is used with a plus sign in the above equations.

Thus, $ϕ_{\rm N} = - 90^\circ$ represents a sinusoidal input signal $q(t)$ and $ϕ_{\rm T} = - 90^\circ$ denotes a sinusoidal carrier signal $z(t)$.
Therefore, the equation for the modulated signal is:

$$s(t) = q(t) \cdot z(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(\omega_{\rm N} t + \phi_{\rm N})\cdot \cos(\omega_{\rm T} t + \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm}.$$

This equation can be transformed using the trigonometric addition theorem:

$$s(t) = A_{\rm N}/{2} \cdot \cos \big [(\omega_{\rm T} +\omega_{\rm N})\cdot t + \phi_{\rm T}+ \phi_{\rm N} \big ] + A_{\rm N}/{2} \cdot \cos \big [(\omega_{\rm T} -\omega_{\rm N})\cdot t + \phi_{\rm T}- \phi_{\rm N} \big ]\hspace{0.05cm}.$$

For cosinusoidal signals $(ϕ_{\rm T} = ϕ_{\rm N} = 0)$ , this equation simplifies to

$$s(t) = {A_{\rm N}}/{2} \cdot \cos\big[(\omega_{\rm T}+\omega_{\rm N})\cdot t\big] + {A_{\rm N}}/{2} \cdot \cos\big[(\omega_{\rm T} -\omega_{\rm N})\cdot t \big]\hspace{0.05cm}.$$

Using a Fourier transform we arrive at the spectral function:

$$S(f) = {A_{\rm N}}/{4} \cdot \big[\delta ( f - f_{\rm T} - f_{\rm N})+\delta ( f + f_{\rm T} + f_{\rm N})\big)] + {A_{\rm N}}/{4} \cdot \big[ \delta ( f - f_{\rm T}+ f_{\rm N})+\delta ( f+ f_{\rm T} - f_{\rm N} ) \big]\hspace{0.05cm}.$$

This result, which would also have been arrived at via convolution, states:

The spectrum consists of four Dirac lines at frequencies $±(f_{\rm T} + f_{\rm N})$ and $±(f_{\rm T} - f_{\rm N})$, where in both bracket expressions the first Dirac function indicates the one for positive frequencies.
The weights of all Dirac functions are equal and each is $A_{\rm N}/4$. The sum of these weights - that is, the integral over $S(f)$ – is equal to the signal value $s(t = 0) = A_{\rm N}$.
The Dirac lines remain for $ϕ_{\rm T} ≠ 0$ and/or $ϕ_{\rm N} ≠ 0$ at the same frequencies. However, complex rotation factors must then be added to the weights $A_{\rm N}/4$ .

$\text{Example 3:}$ The following diagram shows the spectral functions $S(f)$ for different values of $ϕ_{\rm T}$ and $ϕ_{\rm N}$, respectively. The other parameters are assumed to be $f_{\rm T} = 50\text{ kHz}$, $f_{\rm N} = 10\text{ kHz}$ and $A_{\rm N} = 4\text{ V}$ . Thus, the magnitudes of all Dirac lines are $A_{\rm N}/4 = 1\text{ V}$.

Typical spectra for DSB-AM

The upper left image shows the case just discussed: both the carrier and the message signal are cosine. Thus, the amplitude modulated signal $s(t)$ s composed of two cosine oscillations with $ω_{60} = 2 π · 60\text{ kHz}$ and $ω_{40} = 2 π · 40\text{ kHz}$ .

For the other three constellations, at least one of the signals $q(t)$ or $z(t)$ sinusförmig, is sinusoidal, so that $s(0) = 0$ always holds. Thus, for these spectra, the sum of the four impulse weights each add up to zero.

The bottom right image depicts $s(t) = A_{\rm N} · \sin(ω_{\rm N} t) · \sin(ω_{\rm T}t)$. Multiplying two odd functions yields the even function $s(t)$ and thus a real spectrum $S(f)$. In contrast, the other two constellations each result in imaginary spectral functions.

Double-Sideband Amplitude Modulation with carrier

The following diagram shows how to get from "DSB-AM without a carrier" to the better known variant "DSB-AM with carrier". This has the advantage that the demodulator can be realized much more easily and cheaply by a simple manipulation at the transmitter.

Models of DSB–AM with carrier

The diagram is to be interpreted as follows:

The top plot shows the physical model of the "DSB-AM with carrier", with changes from the "DSB-AM without a carrier" highlighted in red.
The carrier signal $z(t) = A_{\rm T} · \cos(ω_{\rm T} · t)$ is added to the signal $s(t)$ , which causes two additional Dirac functions in the spectrum $±f_{\rm T} , each with impulse weight $A_{\rm T}/2$. *Adding the DC signal $A_{\rm T}$ to the source signal and then multiplying by the dimensionless carrier $z(t)$ as shown in the lower sketch results in the same signal $s(t)$ and spectrum $S(f)$ as above. *Thus, the second representation is equivalent to the upper model. In both cases the carrier phase is only set to $ϕ_{\rm T} = 0$ for the sake of simplified presentation. <div class="greybox"> $\text{Beispiel 4:}$ Die ''Zweiseitenband-Amplitudenmodulation mit Träger'' findet auch heutzutage noch ihre Hauptanwendung in der Rundfunkübertragung auf *Langwelle $($Frequenzbereich $\text{30 kHz}$ ... $\text{300 kHz})$, *Mittelwelle $($Frequenzbereich $\text{300 kHz}$ ... $\text{3 MHz})$, *Kurzwelle $($Frequenzbereich $\text{3 MHz}$ ... $\text{30 MHz})$. Diese Frequenzen werden jedoch mehr und mehr für digitale Anwendungen freigegeben, zum Beispiel für ''Digital Video Broadcast'' (DVB). Eine Anwendung von ''Zweiseitenband-Amplitudenmodulation ohne Träger'' gibt es beispielsweise beim UKW-Stereo-Rundfunk: *Hier wird das Differenzsignal zwischen den beiden Stereokanälen bei $\text{39 kHz}$ trägerlos amplitudenmoduliert. *Dann werden das Summensignal der beiden Kanäle $($jeweils im Bereich $\text{30 Hz}$ ... $\text{15 kHz})$, ein Hilfsträger bei $\text{19 kHz}$ sowie das Differenzsignal zusammengefasst und frequenzmoduliert. <div style="clear:both;"> </div> </div> <div class="greybox"> $\text{Beispiel 5:}$ Die folgenden Signalverläufe sollen das Prinzip der „ZSB–AM mit Träger” weiter verdeutlichen. [[File:EN_Mod_T_2_1_S5b_v2.png|right|frame|Signalverläufe bei der ZSB–AM mit Träger]] <br> *Oben sehen Sie einen Ausschnitt des auf Frequenzen $\vert f \vert \le 4\text{ kHz}$ begrenzten Quellensignal $q(t)$. *$s(t)$ ergibt sich, wenn man zu $q(t)$ den Gleichanteil $A_{\rm T}$ addiert und die Signalsumme mit dem Trägersignal $z(t)$ der Frequenz $f_{\rm T} = 100\text{ kHz}$ multipliziert. *Unten ist zum Vergleich das Sendesignal der „ZSB–AM ohne Träger” dargestellt. <br clear="all"> Ein Vergleich dieser Signalverläufe zeigt: *Durch die Zusetzung des Gleichanteils $A_{\rm T}$ wurde erreicht, dass nun das Nachrichtensignal $q(t)$ in der Hüllkurve von $s(t)$ zu erkennen ist. *Dadurch kann die [[Modulation_Methods/Hüllkurvendemodulation|Hüllkurvendemodulation]] angewandt werden, die einfacher und billiger zu realisieren ist als die kohärente [[Modulation_Methods/Synchrondemodulation|Synchrondemodulation]]. *Voraussetzung für die Anwendung des Hüllkurvendemodulators ist aber ein Modulationsgrad $m <1$. Dieser ist wie folgt definiert: :'"`UNIQ-MathJax16-QINU`"' *Der Vorteil eines einfacheren Demodulators muss aber durch eine deutlich höhere Sendeleistung erkauft werden, da der Leistungsbeitrag des Trägers nicht zur Demodulation genutzt werden kann. *Weiter ist zu darauf zu achten, dass das Quellensignal keinen Gleichanteil beinhaltet, da dieser durch den Träger überdeckt würde. Bei Sprach– und Musiksignalen ist dies allerdings keine große Einschränkung. <div style="clear:both;"> </div> </div> =='"`UNIQ--h-6--QINU`"'Beschreibung der ZSB-AM durch das analytische Signal== <br> [[File:Mod_T_2_1_S6_version2.png|right|frame|Spektrum des analytischen Signals in zwei verschiedenen Darstellungsformen]] Im weiteren Verlauf wird zur Vereinfachung von Grafiken meist das Spektrum $S_+(f)$ des [[Modulation_Methods/Allgemeines_Modell_der_Modulation#Beschreibung_des_physikalischen_Signals_mit_Hilfe_des_analytischen_Signals|analytischen Signals]] anstelle des tatsächlichen, physikalischen Spektrums $S(f)$ angegeben. Beispielhaft betrachten wir hier eine „ZSB–AM mit Träger” und folgende Signale: :'"`UNIQ-MathJax17-QINU`"' Dann lautet das dazugehörige analytische Signal: :'"`UNIQ-MathJax18-QINU`"' Die zugehörige Spektralfunktion $S_+(f)$ besteht aus drei Diraclinien mit jeweils komplexen Gewichten entsprechend der Grafik: *Die linke Skizze zeigt den Betrag $|S_+(f)|$, wobei $A_{\rm T}$ das Gewicht des Trägers angibt und $A_{\rm N}/2$ die Gewichte von '''OSB''' (oberes Seitenband) und '''USB''' (unteres Seitenband). *In Klammern stehen die auf $A_{\rm T}$ normierten Werte. Da hier $q_{\rm max} = A_{\rm N}$ gilt, erhält man mit dem Modulationsgrad $m = A_{\rm N}/A_{\rm T}$ als normierte Gewichte von oberem und unterem Seitenband jeweils $m/2$. *Die rechte Skizze gibt einen Blick in Richtung der Frequenzachse und zeigt die Phasenwinkel von Träger $(ϕ_{\rm T})$, USB $(ϕ_{\rm T} – ϕ_{\rm N})$ und OSB $(ϕ_{\rm T} + ϕ_{\rm N})$. ==Amplitudenmodulation durch quadratische Kennlinie== <br> Nichtlinearitäten sind in der Nachrichtentechnik meist unerwünscht und störend. Wie im Kapitel [[Linear_and_Time_Invariant_Systems/Nichtlineare_Verzerrungen|Nichtlineare Verzerrungen]] des Buches „Lineare zeitinvariante Systeme” dargelegt, führen sie dazu, dass *das Superpositionsprinzip nicht mehr anwendbar ist, *das Übertragungsverhalten von der Größe des Eingangssignals abhängt, und *die Verzerrungen von nichtlinearer Art und damit irreversibel sind. Eine Nichtlinearität der allgemeinen Form :'"`UNIQ-MathJax19-QINU`"' kann aber auch zur Realisierung einer ZSB–AM genutzt werden. Unter der Voraussetzung, dass *nur die Koeffizienten $c_1$ und $c_2$ vorhanden sind, und *das Eingangssignal $x(t) = q(t) + z(t)$ angelegt wird, erhält man für das Ausgangssignal der Nichtlinearität: :'"`UNIQ-MathJax20-QINU`"' Der erste, der dritte und der letzte Anteil liegen – spektral gesehen – bei $| f | ≤ 2 · B_{\rm NF}$ bzw. $| f | = 2 · f_{\rm T}$. Entfernt man diese Signalanteile durch einen Bandpass und berücksichtigt $z(t) = A_{\rm T} · \cos(ω_{\rm T} · t)$, so erhält man die für „ZSB–AM mit Träger” typische Gleichung <br>(nur noch der zweite und der vierte Term): :'"`UNIQ-MathJax21-QINU`"' Der Modulationsgrad ist bei dieser Realisierungsform durch die Koeffiziente $c_1$ und $c_2$ veränderbar: :'"`UNIQ-MathJax22-QINU`"' Eine Diode und der Feldeffekttransistor besitzen mit guter Näherung eine solche quadratische Kennlinie und können zur Realisierung einer ZSB–AM genutzt werden. Kubische Anteile $(c_3 ≠ 0)$ und Nichtlinearitäten höherer Ordnung führen allerdings zu (großen) nichtlinearen Verzerrungen.