Exercise 4.5: Locality Curve for DSB-AM

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Wir betrachten ein ähnliches Übertragungsszenario wie in Aufgabe A4.4: sinusförmiges Nachrichtensignal, Amplitude AN = 2 V, Frequenz fN = 10 kHz, ZSB-Amplitudenmodulation mit Träger; mit fT = 50 kHz (Trägerfrequenz). Nebenstehend sehen Sie die Spektralfunktion S+(f) des analytischen Signals. Berücksichtigen Sie bei der Lösung, dass das äquivalente Tiefpass-Signal auch in der Form

$$s_{\rm TP}(t) = a(t) \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} \phi(t)} $$

dargestellt werden kann, wobei a(t) ≥ 0 gelten soll. Für ϕ(t) ist der Wertebereich – π < ϕ(t) ≤ +π zulässig und es gilt die allgemeingültige Gleichung:

$$\phi(t)= {\rm arctan} \hspace{0.1cm}\frac{{\rm Im}\left[s_{\rm TP}(t)\right]}{{\rm Re}\left[s_{\rm TP}(t)\right]}.$$

Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 4.3. Sie können Ihre Lösung mit dem folgenden Interaktionsmodul überprüfen: Ortskurve – Darstellung des äquivalenten Tiefpass-Signals

Fragebogen

1

Berechnen Sie das äquivalente Tiefpass-Signal sTP(t) im Frequenz– und Zeitbereich. Welchen Wert besitzt sTP(t) zum Startzeitpunkt t = 0?

$\text{Re}[s_{\text{TP}}(t=0 \mu \text{s})] =$ V

$\text{Im}[s_{\text{TP}}(t=0 \mu \text{s})] =$ V

2

Welche Werte weist sTP(t) zu den Zeitpunkten t = T0/10, T0/4, 3T0/4 und T0 = 100 μs auf? Zeigen Sie, dass alle Werte rein reell sind.

$\text{Re}[s_{\text{TP}}(t=10 \mu \text{s})] =$ V

$\text{Re}[s_{\text{TP}}(t=25 \mu \text{s})] =$ V

$\text{Re}[s_{\text{TP}}(t=75 \mu \text{s})] =$ V

$\text{Re}[s_{\text{TP}}(t=100 \mu \text{s})] =$ V

3

Wie lautet die Betragsfunktion a(t)? Welche Werte ergeben sich zu den Zeiten t = 25 μs und t = 75 μs?

$a(t=25 \mu \text{s}) =$ V

$a(t=25 \mu \text{s}) =$ V

4

Geben Sie die Phasenfunktion ϕ(t) allgemein an. Welche Werte ergeben sich zu den Zeiten t = 25 μs und t = 75 μs?

$\phi(t=25 \mu \text{s}) =$ Grad

$\phi(t=25 \mu \text{s}) =$ Grad

Musterlösung

Solution

1. a) Verschiebt man alle Diraclinien jeweils um fT = 50 kHz nach links, so liegen diese bei –10 kHz, 0 und +10 kHz. Die Gleichung sTP(t) lautet mit ω10 = 2 π · 10 kHz:

$$s_{\rm TP}(t) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} - {\rm j}\cdot {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm 10} \hspace{0.05cm} t }+{\rm j}\cdot {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm 10} \hspace{0.05cm} t }$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{\rm TP}(t = 0) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} - {\rm j}\cdot {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} +{\rm j}\cdot {\rm 1 \hspace{0.05cm} V}= {\rm 1 \hspace{0.05cm} V}.$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Re}[s_{\rm TP}(t = 0) ] \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm 1 \hspace{0.05cm} V}}, \hspace{0.2cm}{\rm Im}[s_{\rm TP}(t = 0) ] \hspace{0.15 cm}\underline{= 0} .$$

b) Obige Gleichung kann man nach dem Satz von Euler mit T0 = 1/fN = 100 Mikrosekunden wie folgt umformen:

$$\frac{s_{\rm TP}(t)}{{\rm 1 \hspace{0.05cm} V}}\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}1\hspace{-0.05cm} - \hspace{-0.05cm}{\rm j}\cdot \cos({ \omega_{\rm 10}\hspace{0.05cm} t }) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} \sin({ \omega_{\rm 10}\hspace{0.05cm} t }) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm}{\rm j}\cdot \cos({ \omega_{\rm 10}\hspace{0.05cm} t })\hspace{-0.05cm} + \hspace{-0.05cm} \sin({ \omega_{\rm 10}\hspace{0.05cm} t }) = 1+2 \cdot \sin(2 \pi \frac{t}{T_0}) .$$

Damit ist gezeigt, dass sTP(t) für alle Zeiten t reell ist. Für die gesuchten Zahlenwerte erhält man:

$$s_{\rm TP}(t = {\rm 10 \hspace{0.05cm} \mu s}) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot \left[1+2 \cdot \sin(36^\circ)\right]\hspace{0.15 cm}\underline{={{\rm 2.176 \hspace{0.05cm} V}}},$$

$$s_{\rm TP}(t = {\rm 25 \hspace{0.05cm} \mu s}) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot \left[1+2 \cdot \sin(90^\circ)\right]\hspace{0.15 cm}\underline{={{\rm 3 \hspace{0.05cm} V}}},$$

$$s_{\rm TP}(t = {\rm 75 \hspace{0.05cm} \mu s}) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot \left[1+2 \cdot \sin(270^\circ)\right]\hspace{0.15 cm}\underline{= -{{\rm 1 \hspace{0.05cm} V}}},$$

$$s_{\rm TP}(t = {\rm 100 \hspace{0.05cm} \mu s}) = s_{\rm TP}(t = 0) \hspace{0.15 cm}\underline{={{\rm 1 \hspace{0.05cm} V}}}.$$

c) Definitionsgemäß gilt a(t) = |sTP(t)|. Damit erhält man folgende Zahlenwerte:

$$a(t = {\rm 25 \hspace{0.05cm} \mu s}) = s_{\rm TP}(t = {\rm 25 \hspace{0.05cm} \mu s}) \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm 3 \hspace{0.05cm} V}} , \hspace{4.15 cm}$$

$$a(t = {\rm 75 \hspace{0.05cm} \mu s}) = |s_{\rm TP}(t = {\rm 75 \hspace{0.05cm} \mu s})| \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm 1 \hspace{0.05cm} V}} .$$

d) Aufgrund der Tatsache, dass für alle Zeiten Im[sTP(t)] = 0 ist, erhält man aus der Beziehung

$$\phi(t)= {\rm arc} \left[s_{\rm TP}(t)\right]= {\rm arctan} \hspace{0.1cm}\frac{{\rm Im}\left[s_{\rm TP}(t)\right]}{{\rm Re}\left[s_{\rm TP}(t)\right]}$$

das Ergebnis ϕ(t) = 0, falls Re[sTP(t)] positiv ist, und ϕ(t) = π bei negativem Realteil. Wir beschränken uns hier auf den Zeitbereich einer Periode: 0 ≤ t ≤ T0. Im Bereich zwischen t1 und t2 liegt eine Phase von 180° vor, ansonsten gilt Re[sTP(t)] ≥ 0. Zur Berechung von t1 kann das Ergebnis aus b) herangezogen werden:

$$\sin(2 \pi \cdot \frac{t_1}{T_0}) = -0.5 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 2 \pi \cdot \frac{t_1}{T_0} = 2 \pi \cdot \frac{7}{12}\hspace{0.3cm}{\rm (entspricht}\hspace{0.1cm}210^\circ )$$

Daraus erhält man t1 = 7/12 · T0 = 58.33 μs. Durch ähnliche Überlegungen kommt man zum Ergebnis t2 = 11/12 · T0 = 91.67 μs. Die gesuchten Werte sind somit ϕ(t = 25 μs) = 0 und ϕ(t = 75 μs) = 180° (= π).