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Augenöffnung bei redundanzfreien Mehrstufensystemen
Wir gehen weiterhin von folgenden Voraussetzungen aus:
- NRZ–Rechteck–Sendeimpulse,
- Koaxialkabel und AWGN–Rauschen,
- ideale Kanalentzerrung, sowie
- ein Gaußtiefpass zur Rauschleistungsbegrenzung.
Im Unterschied zum letzten Kapitel ist das weiterhin redundanzfreie Sendesignal $s(t)$ nun nicht mehr binär, sondern $M$–stufig, was sich nur im Wertevorrat der Amplitudenkoeffizienten auswirkt:
- $$s(t) = \sum_{\nu = -\infty}^{+\infty} a_\nu \cdot g_s ( t - \nu \cdot T)\hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm} a_\nu \in \{ a_1,\ \text{ ...} \ , a_\mu , \ \text{ ...} \ , a_{M}\}\hspace{0.05cm}.$$
Dementsprechend besitzt der Entscheider nun nicht mehr nur eine, sondern $M-1$ Entscheiderschwellen und im Augendiagramm sind bei geöffnetem Auge $M-1$ Augenöffnungen erkennbar.
Vergleicht man die Augendiagramme (ohne Rauschen)
- eines binären $(M = 2)$,
- eines ternären $(M = 3)$, und
- eines quaternären $(M = 4)$
Übertragungssystems bei gleichem Detektionsgrundimpuls $g_d(t)$ und gleicher Symboldauer $T$, so erhält man für die halbe vertikale Augenöffnung allgemein:
- $${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2} = \frac{g_0}{ M-1} - \sum_{\nu = 1}^{\infty} |g_{-\nu} | - \sum_{\nu = 1}^{\infty} |g_{\nu} |\hspace{0.05cm}.$$
Hierbei bezeichnet $g_0 = g_d(t= 0)$ wie im Kapitel Berücksichtigung von Kanalverzerrungen und Entzerrung den Hauptwert. Die beiden Summen in obiger Gleichung berücksichtigen
- die Vorläufer $g_1$, $g_2$, ... der nachfolgenden Impulse (zweiter Term), und
- die Nachläufer $g_{-1}$, $g_{-2}$, ... der vorherigen Impulse (letzter Term).
Dabei gilt stets $g_\nu = g_d(t = \nu \cdot T)$.
$\text{Beispiel 1:}$ Nachfolgend sehen Sie drei Augendiagramme für die Stufenzahlen $M = 2$, $M = 3$ und $M = 4$.
- Das binäre Augendiagramm gilt für einen Gaußtiefpass mit der (normierten) Grenzfrequenz $f_{\rm G} \cdot T = 0.6$. Mit dem Hauptwert $g_0 = 0.867 \cdot s_0$ und den beiden Ausläufern $g_{1} = 0.067 \cdot s_0$ und $g_{-1} = g_{1}$ ergibt sich in diesem Fall für die vertikale Augenöffnung (Rundung auf eine Nachkommastelle):
- $${\ddot{o}(T_{\rm D})}= 2 \cdot (g_0 - 2 \cdot g_1) \approx 1.5 \cdot s_0 \hspace{0.05cm}.$$
- Bei den Mehrstufensystemen ist die Augenöffnung per se um den Faktor $1/(M-1)$ kleiner. Die Augenöffnung wird also durch die (gleich großen) Vor– und Nachläufer (relativ gesehen) stärker verringert als beim Binärsystem. Man erhält bei gleichen Grundimpulswerten für
- $$M = 3\text{:} \hspace{0.2cm}{\ddot{o}(T_{\rm D})} = 2 \cdot (g_0/2 - 2 \cdot g_1) \approx 0.6 \cdot s_0 \hspace{0.05cm},$$
- $$M = 4\text{:} \hspace{0.2cm}{\ddot{o}(T_{\rm D})} = 2 \cdot (g_0/3 - 2 \cdot g_1) \approx 0.3 \cdot s_0 \hspace{0.05cm}.$$
Anzumerken ist, dass auch für diese beiden Mehrstufensysteme jeweils die normierte Grenzfrequenz $f_{\rm G} \cdot T = 0.6$ zugrundeliegt.
- Bei einem Systemvergleich ist allerdings zu beachten, dass sich durch die größere Stufenzahl auch der Informationsfluss erhöht.
- Das heißt, dass die Mehrstufensysteme besser sind, als es diese Grafiken aussagen. Mehr darüber auf der nächsten Seite.
Vergleich zwischen Binär– und Quaternärsystem
Der auf der letzten Seite angestellte Vergleich ist nicht fair, da nicht von gleichem Informationsfluss ausgegangen wurde. Ein Systemvergleich bei konstanter äquivalenter Bitrate $R_{\rm B}$ muss vielmehr auch berücksichtigen, dass bei den (redundanzfreien) Mehrstufensystemen die Symboldauer $T$ um den Faktor $\log_2 \ (M)$ größer ist als beim Binärsystem, was sich günstig auf die Impulsinterferenzen auswirkt.
Die Grafik zeigt die (auf $s_0$ normierte) halbe Augenöffnung in Abhängigkeit des Quotienten $f_{\rm G}/R_{\rm B}$ des gaußförmigen Empfangsfilters. In der Aufgabe 3.4Z wird diese in analytischer Form wie folgt berechnet:
- $$\ddot{o}_{\rm norm} = \frac{\ddot{o}(T_{\rm D})}{ 2 \cdot s_0} = \frac{M}{ M-1}\cdot \frac{g_0}{ s_0} -1 = \frac{1}{ M-1}\cdot \big [1- 2 \cdot M \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot {\log_2}\hspace{0.1cm}(M) \cdot {f_{\rm G}}/{R_{\rm B}} \right)\big] \hspace{0.05cm}.$$
Man erkennt aus obiger Grafik:
- Bei breitbandigem Filter $($das heißt: für großes $f_{\rm G})$ ist das Binärsystem den Mehrstufensystemen deutlich überlegen. Die normierte halbe Augenöffnung beträgt im Grenzfall $\ddot{o}_{\rm norm} = 1$ (für $M = 2$), $\ddot{o}_{\rm norm} = 1/2$ (für $M = 3$) bzw. $\ddot{o}_{\rm norm} = 1/3$ (für $M = 4$).
- Wie aus der Grafik hervorgeht, führt für Grenzfrequenzen $f_{\rm G}/R_{\rm B} < 0.35$ die Stufenzahl $M=4$ (rote Kurve) zu einer größeren Augenöffnung als $M=2$ (blaue Kurve). Das Ternärsystem $(M=3$, violette Kurve$)$ liegt fast im gesamten Bereich zwischen Binär– und Quaternärsystem.
- Zu erwähnen ist auch, dass sich beim Quaternärsystem erst mit einer Grenzfrequenz $f_{\rm G}/R_{\rm B} < 0.23$ ein geschlossenes Auge ergibt (was zu sehr großen Fehlerwahrscheinlichkeiten führt), während eine praxisrelevante Binärübertragung bereits für $f_{\rm G}/R_{\rm B} < 0.27$ nicht mehr möglich ist.
Gegenüberstellung der optimalen Grenzfrequenzen
Wir vergleichen nun die optimalen Grenzfrequenzen des Gaußfilters, die sich für $M=2$ bzw. $M=4$ ergeben. Dem Vergleich liegt ein koaxialer Übertragungskanal mit der charakteristischen Kabeldämpfung $a_\star$ zugrunde. Je größer dieser Kanalparameter ist (das heißt auch: je länger das Kabel ist), desto stärker wird das Rauschen durch die erforderliche Entzerrung beim Empfänger verstärkt.
Interpretieren wir zunächst die linke Grafik:
- Bei verzerrungsfreiem Kanal $(a_\star = 0 \ \rm dB)$ ergeben sich die (normierten) optimalen Grenzfrequenzen zu $f_\text{G, opt}/R_{\rm B} = 0.8$ $($für $M=2)$ bzw. $f_\text{G, opt}/R_{\rm B} = 0.48$ $($für $M=4)$. Entsprechend dem Kurvenverlauf "halbe normierte Augenöffnung" auf der letzten Seite ist hier das Binärsystem dem Quaternärsystem deutlich überlegen.
- Mit der charakteristischen Kabeldämpfung $a_\star = 80 \ \rm dB$ erhält man für das Binärsystem $(M=2)$ die optimale Grenzfrequenz $f_\text{G, opt}/R_{\rm B} = 0.33$. Für das Quaternärsystem $(M=4)$ ergibt sich wieder ein kleinerer Wert: $f_\text{G, opt}/R_{\rm B} = 0.28$.
Das optimierte Binärsystem ist aber trotz größerer Augenöffnung nicht immer besser als das optimierte Quaternärsystem, da auch die Rauschleistung zu berücksichtigen ist. Diese wird mit kleiner werdenden Grenzfrequenz ebenfalls kleiner.
Die rechte Grafik zeigt den Störabstandsgewinn des Quaternärsystems gegenüber dem Binärsystem,
- $$G_{_{M=4}} = 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{_{{\rm U},\hspace{0.05cm} M=4}} - 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{_{{\rm U}, \hspace{0.05cm}M=2}},$$
wenn die Grenzfrequenzen gemäß der linken Grafik jeweils optimal gewählt werden. Demnach gilt:
- Für $a_\star <50 \ \rm dB$ ist das Binärsystem optimal. Beim verzerrungsfreien Kanal $(a_\star = 0 \ \rm dB)$ ergibt sich ein um ca. $7 \ \rm dB$ größeres SNR als mit $M=4$.
- Dagegen ergeben sich für $a_\star >50 \ \rm dB$ mit $M=4$ günstigere Verhältnisse. Bei $a_\star = 80 \ \rm dB$ ist der Störabstandsgewinn gegenüber $M=2$ größer als $3 \ \rm dB$.
Eye opening for the pseudo ternary codes
Im Kapitel Symbolweise Codierung wurden die Pseudoternärcodes allgemein beschrieben und es wurden für diese die Augendiagramme bei Nyquistimpulsformung angegeben.
In nebenstehender Grafik sehen Sie im Vergleich zum redundanzfreien Binärcode (Mitte) die Augendiagramme – jeweils ohne Rauschen – für
- den AMI–Code (links),
- den Duobinärcode (rechts).
Die Amplitude ist jeweils $s_0 = 1$. Alle Augendiagramme gelten zudem für ein gaußförmiges Empfangsfilter mit der Grenzfrequenz $f_\text{G} \cdot T = 0.4$, woraus sich folgende (normierte) Grundimpulswerte ergeben:
- $$g_{0} \approx 0.68, \hspace{0.2cm} g_{1}= g_{-1} \approx 0.16, \hspace{0.2cm}\hspace{0.2cm} g_{2}= g_{-2}= \text{...} \approx 0 \hspace{0.05cm}.$$
Beim redundanzfreien Binärsystem (mittlere Grafik) erhält man somit aufgrund der Impulsinterferenzen für die Augenöffnung
- $${\ddot{o}(T_{\rm D})}= 2 \cdot (g_0 - 2 \cdot g_1 ) = 0.72 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \ddot{o}_{\rm norm} = \frac{\ddot{o}(T_{\rm D})}{ 2 \cdot s_0} = 36\%$$
im Vergleich zu $\ddot{o}(T_{\rm D}) = 2$ bzw. $\ddot{o}_{\rm norm} = 100\%$ beim binären Nyquistsystem.
Bei den Pseudoternärcodes gibt es jeweils zwei Augenöffnungen und man benötigt für die ternäre Entscheidung zwei Schwellenwerte $E_1$ und $E_2$. Da alle Pseudoternärcodes zudem mit der gleichen Symbolrate arbeiten wie das redundanzfreie Binärsystem,
- sind die Detektionsgrundimpulswerte $g_\nu$ und auch der Rauscheffektivwert $\sigma_d$ in beiden Fällen gleich,
- ist die (halbe) Augenöffnung für die Systemoptimierung ebenso geeignet wie das ungünstigste S/N–Verhältnis $\rho_{\rm U} = [\ddot{o}(T_{\rm D})/2]^2 /\sigma_d^2$ und die daraus resultierende Worst–Case–Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm U}$.
Interpretieren wir nun das (linke) Augendiagramm bei AMI–Codierung:
- Die obere Begrenzung des oberen Auges gehört zur Symbolfolge "$\text{...} -\hspace{-0.05cm}1,\hspace{0.05cm} {\it +\hspace{-0.05cm}1},\hspace{0.05cm} -\hspace{-0.05cm}\hspace{-0.05cm}1\hspace{0.05cm} \text{...}$" (Koeffizient $a_{\nu = 0}$ kursiv) und liegt demzufolge bei $d_{\rm oben} = g_0 - 2\cdot g_1$.
- Die untere Begrenzungslinie $d_{\rm unten} = g_1$ geht auf die Symbolfolge "$\text{...} 0,\hspace{0.05cm} {\it 0},\hspace{0.05cm} +\hspace{-0.05cm}\hspace{-0.05cm}1 \text{...}$" bzw. auf die Folge "$\text{...} +\hspace{-0.05cm}\hspace{-0.05cm}1,\hspace{0.05cm} {\it 0},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm} \text{...}$" zurück. Hierbei ist berücksichtigt, dass die Folge "$\text{...} +\hspace{-0.05cm}\hspace{-0.05cm}1,\hspace{0.05cm} {\it 0},\hspace{0.05cm} +\hspace{-0.05cm}\hspace{-0.05cm}1\hspace{0.05cm} \text{...}$" durch die AMI–Codierregel ausgeschlossen wird.
- Damit gilt für die Augenöffnung des AMI–Codes:
- $${\ddot{o}(T_{\rm D})}= d_{\rm oben} - d_{\rm unten} =g_0 - 3 \cdot g_1 = 0.20 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \ddot{o}_{\rm norm} = \frac{\ddot{o}(T_{\rm D})}{ 2 \cdot s_0} = 10\, \%.$$
- Die obere Entscheiderschwelle $E_2$ sowie die untere Entscheiderschwelle $E_1$ liegen bei
- $$E_2 = {1}/{2} \cdot (d_{\rm oben} + d_{\rm unten}) = {1}/{2} \cdot (g_0 - g_1) = 0.27 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}E_1 = - 0.27 \hspace{0.05cm}.$$
Beim Duobinärcode (rechte Grafik) tritt die besonders ungünstige alternierende Symbolfolge nicht auf und man erhält für die Augenöffung sowie die Entscheiderschwellen:
- $$d_{\rm oben}= g_0, \hspace{0.2cm} d_{\rm unten} = g_1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\ddot{o}(T_{\rm D})} = g_0 - g_1 = 0.52 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \ddot{o}_{\rm norm} = 26\, \% \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} E_2 = {1}/{2} \cdot (g_0 + g_1) = 0.42 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}E_1 = - 0.42 \hspace{0.05cm}.$$
Hinweis: Die Degradationen durch Impulsinterferenzen bei AMI– und Duobinärcodierung können ebenfalls mit dem interaktiven Applet Augendiagramm und Augenöffnung angezeigt werden. Die angegebenen Fehlerwahrscheinlichkeiten gelten allerdings nur für den verzerrungsfreien Kanal $(a_\star = 0 \ \rm dB)$.
Grenzfrequenzoptimierung bei Pseudoternärcodierung
Unter Berücksichtigung eines koaxialen Übertragungskanals und der damit notwendigen Kanalentzerrung sind folgende Aussagen möglich:
- Der AMI–Code führt stets zu einem schlechteren Störabstand als der redundanzfreie Binärcode, wenn der Gesamtfrequenzgang gaußförmig verläuft. Mit der charakteristischen Kabeldämpfung $a_\star = 80 \ \rm dB$ beträgt der Störabstandsverlust ca. $11 \ \rm dB$.
- Dieser Verlust ist darauf zurückzuführen, dass trotz ternärer Codierung die Symbolrate gegenüber dem binären Vergleichssystem nicht vermindert wird. Dies hat zur Folge, dass beim AMI–Code bereits eine Grenzfrequenz $f_\text{G} \cdot T < 0.36$ zu einem geschlossenen Auge führt.
- Dagegen ergibt sich beim Duobinärcode ein geschlossenes Auge erst ab $f_\text{G} \cdot T < 0.22$. Dadurch ist auch die optimale Grenzfrequenz kleiner als beim Binärsystem. Bei 80 dB Kabeldämpfung ist der Duobinärcode in Kombination mit $f_\text{G} \cdot T =0.28$ um $3.3 \ \rm dB$ besser als der beste Wert bei redundanzfreier Binärcodierung.
$\text{Allerdings ist zu berücksichtigen:}$ Alle Ergebnisse in diesem Kapitel gelten unter der Bedingung $H_{\rm K}(f=0) = 1$.
- Soll ein redundanzfreies Signal oder das duobinär–codierte Signal über einen gleichsignalundurchlässigen Kanal übertragen werden, so ist eine aufwändige Gleichsignalwiedergewinnung erforderlich, die stets ebenfalls mit einer Degradation des S/N-Verhältnisses verbunden ist [ST85][1].
- Der AMI–Code ist gleichsignalfrei und kann damit auch über einen Telefonkanal ⇒ $H_{\rm K}(f=0) = 0$ übertragen werden. Dies ist der entscheidende Grund, warum der AMI–Code trotz ansonsten schlechter Eigenschaften zum Beispiel bei ISDN (Integrated Services Digital Network) eingesetzt wird.
Aufgaben zum Kapitel
Aufgabe 3.4: Grenzfrequenzoptimierung
Aufgabe 3.4Z: Augenöffnung und Stufenzahl
Aufgabe 3.5: Augenöffnung bei Pseudoternärcodierung
Quellenverzeichnis
- ↑ Söder, G.; Tröndle, K.: Digitale Übertragungssysteme - Theorie, Optimierung & Dimensionierung der Basisbandsysteme. Berlin – Heidelberg: Springer, 1985.
