Exercise 5.2: Error Correlation Function

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Probabilities of error distances and ECF

For the characterization of digital channel models one uses among other things

• the error correlation function (ECF)

$$\varphi_{e}(k) = {\rm E}\big[e_{\nu} \cdot e_{\nu + k}\big]\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} k \ge 0\hspace{0.05cm},$$

• the error distance probabilities

$${\rm Pr}( a =k) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} k \ge 1\hspace{0.05cm}.$$

Here denote:

• $〈e_{\rm \nu}〉$  is the error sequence with  $e_{\rm \nu} ∈ \{0, 1\}$.
• $a$  indicates the error distance.

Zwei direkt aufeinanderfolgende Bitfehler werden somit durch den Fehlerabstand  $a = 1$  gekennzeichnet.

Die Tabelle zeigt beispielhafte Werte der Fehlerabstandswahrscheinlichkeiten  ${\rm Pr}(a = k)$  sowie der Fehlerkorrelationsfunktion  $\varphi_e(k)$.

• Einige Angaben fehlen in der Tabelle.
• Diese Werte sollen aus den gegebenen Werten berechnet werden.

Hinweis:

• Die Aufgabe behandelt den Lehrstoff des Kapitels  "Parameters of Digital Channel Models".

Fragebogen

1

Welcher Wert ergibt sich für die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit?

$p_{\rm M} \ = \ $

2

Welcher Wert ergibt sich für den mittleren Fehlerabstand?

${\rm E}\big[a\big] \ = \ $

3

Berechnen Sie den Wert der Fehlerkorrelationsfunktion (FKF) für  $k = 1$.

$\varphi_e(k = 1) \ = \ $

4

Welche Näherung gilt für die Wahrscheinlichkeit des Fehlerabstands  $a = 2$?

${\rm Pr}(a = 2) \ = \ $

Musterlösung

Solution

(1)  Die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit ist gleich dem FKF–Wert für $k = 0$. Wegen $e_{\nu} ∈ \{0, 1\}$ gilt nämlich:

$$\varphi_{e}(k = 0) = {\rm E}[e_{\nu}^2 ]= {\rm E}[e_{\nu} ]= p_{\rm M} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm M}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.1} \hspace{0.05cm}.$$

(2)  Der mittlere Fehlerabstand ist gleich dem Kehrwert der mittleren Fehlerwahrscheinlichkeit. Das heißt:

$${\rm E}\big[a\big] = 1/p_{\rm M} \ \underline {= 10}.$$

(3)  Nach der Definitionsgleichung und dem Satz von Bayes erhält man folgendes Ergebnis:

$$\varphi_{e}(k = 1) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm E}[e_{\nu} \cdot e_{\nu + 1}] = {\rm E}[(e_{\nu} = 1) \cdot (e_{\nu + 1}=1)]={\rm Pr}(e_{\nu + 1}=1 \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} e_{\nu} = 1) \cdot {\rm Pr}(e_{\nu} = 1) \hspace{0.05cm}.$$

• Die erste Wahrscheinlichkeit ist gleich ${\rm Pr}(a = 1)$ und die zweite Wahrscheinlichkeit ist gleich $p_{\rm M}$:

$$\varphi_{e}(k = 1) = 0.3091 \cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline { = 0.0309} \hspace{0.05cm}.$$

(4)  Der FKF–Wert $\varphi_e(k = 2)$ kann (näherungsweise) folgendermaßen interpretiert werden:

$$\varphi_{e}(k = 2) ={\rm Pr}(e_{\nu + 2}=1 \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} e_{\nu} = 1) \cdot p_{\rm M} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(e_{\nu + 2}=1 \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} e_{\nu} = 1) = \frac{\varphi_{e}(k = 2)}{p_{\rm M}} = \frac{0.0267}{0.1} = 0.267\hspace{0.05cm}.$$

Diese Wahrscheinlichkeit setzt sich zusammen aus  "Zum Zeitpunkt $\nu+1$ tritt ein Fehler auf"  sowie  "Zum Zeitpunkt $\nu+1$ gibt es keinen Fehler":

$${\rm Pr}(e_{\nu + 2}=1 \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} e_{\nu} = 1) = {\rm Pr}( a =1) \cdot {\rm Pr}( a =1) + {\rm Pr}( a =2)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}( a =2)= 0.267 - 0.3091^2 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.1715}\hspace{0.05cm}.$$

Bei der Rechnung wurde davon ausgegangen, dass die einzelnen Fehlerabstände statistisch voneinander unabhängig sind.

• Diese Annahme gilt allerdings nur für eine besondere Klasse von Kanalmodellen, die man als "erneuernd" bezeichnet.
• Das hier betrachtete Bündelfehlermodell erfüllt diese Bedingung nicht.
• Die tatsächliche Wahrscheinlichkeit  ${\rm Pr}(a = 2) = 0.1675$  weicht deshalb vom hier berechneten Wert  $(0.1715)$  geringfügig ab.