Exercise 1.1Z: Sum of Two Ternary Signals

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Gegeben seien zwei dreistufige Nachrichtenquellen $X$ und $Y$, deren Ausgangssignale jeweils nur die Werte –1, 0 und +1 annehmen können. Die Signalquellen sind statistisch voneinander unabhängig. Eine einfache Schaltung bildet nun das Summensignal $S = X + Y$. Bei der Signalquelle $X$ treten die Werte –1, 0 und +1 mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf, während bei der Quelle $Y$ der Signalwert 0 doppelt so wahrscheinlich ist wie die beiden anderen Werte –1 bzw. +1.

Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf den gesamten Stoff von Kapitel 1.1. Der Inhalt dieses Abschnitts ist im nachfolgenden Lernvideo zusammengefasst:

Fragebogen

1

Wie groß sind die Auftrittswahrscheinlichkeiten der Signalwerte von $Y$? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $Y = 0$ ist ?

$Pr(Y=0) = $

2

Wieviele unterschiedliche Signalwerte $I$ kann das Summensignal $S$ annehmen? Welche sind dies?

$ I = $

3

Mit welchen Wahrscheinlichkeiten treten die in $2)$ ermittelten Werte auf? Wie wahrscheinlich ist der Maximalwert $S_\max$? Hinweis: Lösen Sie die Aufgabe nach der klassischen Definition. Berücksichtigen Sie trotzdem die unterschiedlichen Auftrittshäufigkeiten des Signals $Y$.

$ Pr(S = S_\max ) = $

4

Wie ändern sich die Wahrscheinlichkeiten, wenn nun anstelle der Summe die Differenz $D = X - Y$ betrachtet wird? Begründen Sie Ihre Antwort.

	Die Wahrscheinlichkeiten bleiben gleich.
	Die Wahrscheinlichkeiten ändern sich. Wie ändern sie sich?

Musterlösung

Solution

1.Da die Wahrscheinlichkeiten von ±1 gleich sind und $Pr(Y = 0) = 2 * Pr(Y = 1)$ gilt, erhält man:

$Pr(Y = 1) + Pr(Y = 0) + Pr(Y = -1) = 1$

$ \Rightarrow 1/2*Pr(Y = 0) + Pr(Y = 0) + 1/2*Pr(Y = 0) = 1$

$ \Rightarrow PR(Y = 0) = 1/2 $

2. $S$ kann insgesamt 5 Werte annehmen, nämlich –2, –1, 0, +1 und +2

3.

Da $Y$ nicht gleichverteilt ist, kann man hier die "klassische Definition der Wahrscheinlichkeit" (eigentlich) nicht anwenden.

Teilt man $Y$ jedoch gemäß dem Bild in vier Bereiche auf, wobei man zwei der Bereiche dem Ereignis $Y = 0$ zuordnet, so kann man die klassische Definition dennoch anwenden. Man erhält dann:

$Pr(S = 0) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$,

$Pr(S = -1) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$,

$Pr(S = +1) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$,

$Pr(S = -2) = \frac{1}{12}, Pr(S = +2) = \frac{1}{12}$

$\Rightarrow Pr(S = S_\max) = 1/12 = 0.0833$.

4. Aus obiger Darstellung ist auch ersichtlich, dass das Differenzsignal $D$ und das Summensignal $S$ die gleichen Werte mit gleichen Wahrscheinlichkeiten annehmen. Dies war zu erwarten, da $Pr(Y = +1)$ gleich $Pr(Y = –1)$ vorgegeben ist ⇒ Lösungsvorschlag 1.