Im Folgenden werden periodische Signale betrachtet und diese sowohl im Zeit– als auch im Frequenzbereich mathematisch beschrieben.
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Eigenschaften und Anwendungen
Für die Nachrichtentechnik besitzen periodische Signale eine große Bedeutung:
- Sie gehören zur Klasse der deterministischen Signale, deren Zeitfunktion in analytischer Form angegeben werden kann.
- Ihr Signalverlauf ist damit für alle Zeiten $t$ bekannt und für die Zukunft eindeutig vorhersagbar.
- Sie sind daher niemals informationstragende Signale.
Trotzdem werden periodische Signale oft auch in der Nachrichtentechnik benötigt, zum Beispiel
- für die Modulation und Demodulation bei Trägerfrequenzsystemen,
- für die Synchronisation und Taktgenerierung bei Digitalsystemen,
- als Test- und Prüfsignale bei der Systemrealisierung.
Auf dem Oszilloskopbild sehen Sie zwei typische Vertreter periodischer Signale:
- oben ein Cosinussignal,
- unten ein Dreiecksignal.
Wie aus den eingeblendeten Einstellungen zu ersehen ist, ist bei beiden Signalen die Periodendauer eine Millisekunde und die Amplitude ein Volt.
Definition und Parameter
Bevor wir uns den Signalparametern eines periodischen Signals zuwenden, soll der Begriff „Periodizität” eindeutig definiert werden:
Ein periodisches Signal $x(t)$ liegt genau dann vor, wenn für alle beliebigen Werte von $t$ und alle ganzzahligen Werte von $i$ mit einem geeigneten $T_{0}$ gilt:
$x(t+i\cdot T_{0}) = x(t)$.
Daraus ergeben sich die folgenden Kenngrößen:
- Die Periodendauer $T_{0}$ gibt den kleinstmöglichen Wert an, der obige Gleichung erfüllt.
- Die Grundfrequenz $f_{0} = 1/T_{0}$ beschreibt die Anzahl der Perioden pro Zeiteinheit (meist je Sekunde). Die Einheit „1/s” wird auch mit „Hz” bezeichnet, benannt nach dem deutschen Physiker Heinrich Hertz.
- Die Grundkreisfrequenz $\omega_{0}$ stellt die Winkeldrehung pro Sekunde dar, die meistens im Bogenmaß angegeben wird. Im Gegensatz zur Grundfrequenz ist hier nicht die Einheit „Hz”, sondern „1/s” üblich. Es gilt folgende Gleichung:
- $\omega_{0}=2\pi f_{0} = \frac{2\pi}/{T_{0}}$.
Nachfolgend sehen Sie ein periodisches Zeitsignal mit der Periodendauer $T_{0} = 2.5 \text{ms}$. Daraus ergeben sich die Grundfrequenz $f_0$ = 400 Hz und die Grundkreisfrequenz $\omega_{0}$ ≈ 2513 1/s.
Resultierende Periodendauer
Besteht ein Signal $x(t)$ aus der Summe zweier periodischer Signale $x_{1}(t)$ und $x_{2}(t)$ mit Periodendauer $T_{1}$ bzw. $T_{2}$, so ist die resultierende Periodendauer des Summensignals das kleinste gemeinsame Vielfache von $T_{1}$ und $T_{2}$, und zwar unabhängig von den Amplituden– und Phasenverhältnissen. Besitzen $T_{1}$ und $T_{2}$ dagegen kein rationales gemeinsames Vielfaches (z. B.: $T_{2} = \pi \cdot T_{1}$), so ist das Summensignal im Gegensatz zu seinen beiden Komponenten nicht periodisch.
Addiert werden ein cosinusförmiges Signal $x_{1}(t)$ mit Periodendauer $T_{1}$ = 2 ms (blauer Signalverlauf) und ein Sinussignal $x_{2}(t)$ mit Periodendauer $T_{2}$ = 5 ms und doppelt so großer Amplitude (grüner Verlauf).
Das (rote) Summensignal $x(t) = x_{1}(t) + x_{2}(t)$ weist dann die resultierende Periodendauer $T_{0}$ = 10 ms auf, und damit die Grundfrequenz $f_{0}$ = 100 Hz. Diese Frequenz $f_{0}$ selbst ist in $x(t)$ nicht enthalten, lediglich ganzzahlige Vielfache davon, nämlich $f_{1}$ = 500 Hz und $f_{a2}$ = 200 Hz. Mit folgendem Interaktionsmodul lässt sich die resultierende Periodendauer zweier harmonischer Schwingungen ermitteln:
Aufgaben zu „Allgemeine Beschreibung periodischer Signale
