Exercise 1.2Z: Measurement of the Frequency Response
Z1.2 Messung von H(f)
Zur messtechnischen Bestimmung des Filterfrequenzgangs wird ein sinusförmiges Eingangssignal mit der Amplitude $\text{2 V}$ und vorgegebener Frequenz $f_0$ angelegt. Das Ausgangssignal $y(t)$ bzw. dessen Spektrum $Y(f)$ werden dann nach Betrag und Phase ermittelt.
Das Betragsspektrum am Ausgang von Filter A lautet mit der Frequenz $f_0 = 1 \,\text{kHz}$: $$|Y_{\rm A} (f)| = 1.6\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\rm \delta } (f \pm f_0) + 0.4\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\rm \delta } (f \pm 3 f_0) .$$ Bei einem anderen Filter B ist das Ausgangssignal dagegen stets eine harmonische Schwingung mit der (einzigen) Frequenz $f_0$. Bei den in der Tabelle angegebenen Frequenzen $f_0$ werden die Amplituden $A_y(f_0)$ und die Phasen $φ_y(f_0)$ gemessen. Hierbei gilt: $$Y_{\rm B} (f) = \frac{A_y}{2} \cdot {\rm e}^{ {\rm j} \varphi_y} \cdot {\rm \delta } (f + f_0) + \frac{A_y}{2} \cdot {\rm e}^{ -{\rm j} \varphi_y} \cdot {\rm \delta } (f - f_0).$$ Das Filter B soll in der Aufgabe in der Form $$H_{\rm B}(f) = {\rm e}^{-a_{\rm B}(f)}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} b_{\rm B}(f)}$$
dargestellt werden; $a_{\rm B}(f)$ wird als Dämpfungsverlauf und $b_{\rm B}(f)$ als Phasenverlauf bezeichnet.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Systembeschreibung im Frequenzbereich.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Fragebogen
Musterlösung
2. Aufgrund der angegeben Zahlenwerte für $A_y(f_0)$ kann von einem $\rm \underline{Bandpass}$ ausgegangen werden.
3. Mit $A_x =$ 2 V und $φ_x =$ 90° (Sinusfunktion) erhält man für $f_0 = f_3 =$ 3 kHz:
$$H_{\rm B} (f_3) = \frac{A_y}{A_x} \cdot {\rm e}^{ -{\rm j}
(\varphi_x - \varphi_y)} = \frac{1\hspace{0.05cm}{\rm
V}}{2\hspace{0.05cm}{\rm V}} \cdot {\rm e}^{ -{\rm j} (90^{\circ} -
90^{\circ})} = 0.5.$$
Somit ergeben sich für $f_0 =$ 3 kHz die Werte $a_{\rm B} \rm \underline{\: ≈ \: 0.693 \: Np}$ und $b_{\rm B} \rm \underline{\: = \: 0 \: (Grad)}$.
4. In analoger Weise kann der Frequenzgang bei $f_0 = f_2 =$ 2 kHz ermittelt werden:
$$H_{\rm B} ( f_2) = \frac{0.8\hspace{0.05cm}{\rm
V}}{2\hspace{0.05cm}{\rm V}} \cdot {\rm e}^{ -{\rm j} (90^{\circ} -
70^{\circ})} = 0.4\cdot {\rm e}^{ -{\rm j} 20^{\circ}}.$$
Damit gilt für $f_0 = f_2 =$ 2 kHz: $a_{\rm B}(f_2) \rm \underline{\: ≈ \: 0.916 \: Np}$ und $b_{\rm B}(f_2) \rm \underline{\: = \: 20°}$.
Bei $f =$ –2 kHz gilt der gleiche Dämpfungswert. Die Phase hat jedoch das umgekehrte Vorzeichen. Also ist $b_{\rm B}(–f_2) =$ –20°.