Exercise 3.9: Characteristic Curve for Cosine PDF

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Gesucht ist eine stetige, monoton steigende nichtlineare Kennlinie $y =g(x)$, die aus einer zwischen $-1$ und $+1$ gleichverteilten Zufallsgröße $x$eine neue Zufallsgröße $y$ mit cosinusförmiger WDF generiert:

$$f_y(y)=A\cdot\cos({\pi}/{2}\cdot y).$$

Die Zufallsgröße $y$ kann ebenfalls nur Werte zwischen $-1$ und $+1$ annehmen. Die beiden Dichtefunktionen $f_x(x)$ und $f_y(y)$ sind nebenstehend skizziert.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Exponentialverteilte Zufallsgröße.
• Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seite Transformation von Zufallsgrößen.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

1

Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?

	Außerhalb des Bereichs $-1 \le x \le +1$ kann $g(x)$.
	Die Kennlinie muss symmetrisch um $x= 0$ sein:   $g(-x) = g(x)$.
	Die Zufallsgröße $y$ hat eine kleinere Varianz als $x$.

2

Berechnen Sie den $f_y(y)$–Wert bei$y = 0$:   $A = f_y(0)$.

$A \ =$

3

Bestimmen Sie die Steigung $h'(y)$ der Umkehrfunktion $x = h(y)$, wobei für $|y| \le 1$ stets $h'(y) > 0$ gelten soll? Welche Steigung gilt bei $y = 0$?

$h'(y = 0) \ =$

4

Berechnen Sie mit dem Ergebnis aus (3) die Funktion $x = h(y)$ unter der Nebenbedingung $h(0) = 0$. Welcher Wert ergibt sich für $y = 1$?

$h(y=1) \ =$

5

Ermitteln Sie den Funktionsverlauf $y = g(x)$ der gesuchten Kennlinie. Welcher Funktionswert ergibt sich an der Stelle $x = 1$?

$g(x = 1) \ =$

Musterlösung

Solution

1.  Richtig sind die Aussagen 1 und 3: Da x nur Werte zwischen ±1 annehmen kann, ist der Verlauf der Kennlinie außerhalb dieses Bereichs für die Zufallsgröße y ohne Belang.

Die Bedingung g(–x) = g(x) muss nicht eingehalten werden. Es gibt beliebig viele Kennlinien, die die gewünschte WDF erzeugen können. Allerdings ist die unter Punkt e) berechnete Kennlinie punktsymmetrisch: g(–x) = –g(x).

Schon die grafischen Darstellungen der beiden Dichtefunktionen zeigen, dass σ_y kleiner als σ_x ist.

2.  Das Integral über die WDF muss stets gleich 1 sein. Daraus folgt:

$$\int_{-\rm 1}^{\rm 1}A\cdot \rm cos(\frac{\pi}{\rm 2}\cdot\it y)\, {\rm d} y=\frac{A\cdot \rm 4}{\pi}\hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} A=\frac{\pi}{\rm 4} \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.785}.$$

3.  Die Transformationsformel kann wie folgt umgeformt werden:

$$f_y(y)=\frac{f_x(x)}{| g'(x)|}\Big|_{\, x=h(y)}=f_x(x)\cdot |h'(y)| \Big|_{\, x=h(y)}.$$

Die Umkehrfunktion h(y) einer monoton ansteigenden Kennlinie steigt ebenfalls monoton an. Deshalb kann auf die Betragsbildung verzichtet werden und man erhält:

$$h'(y)=\frac{f_y(y)}{f_x(x)\Big|_{\, x=h(y)}}={\pi}/{\rm 2}\cdot \rm cos({\pi}/{2}\cdot \it y).$$

An der Stelle y = 0 hat die Steigung den Wert π/2 ≈ 1.571.

4.  Man erhält durch (unbestimmte) Integration:

$$h(y)=\int h'(y)\, {\rm d} y + \it C = \frac{\rm \pi}{\rm 2}\cdot \frac{\rm 2}{\pi}\cdot \rm sin(\frac{\pi}{\rm 2}\cdot\it y) + \rm \it C.$$

Die Nebenbedingung h(y = 0) = 0 führt zur Konstanten C = 0 und damit zum Ergebnis:

$$h(y) = \rm sin({\pi}/{\rm 2}\cdot \it y) \hspace{0.5cm} \Rightarrow\hspace{0.5cm} h(y = \rm 1) \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 1}.$$

5.  Die Umkehrfunktion der in (d) ermittelten Funktion x = h(y) lautet:

$$y=g(x)={\rm 2}/{\rm \pi}\cdot \rm arcsin({\it x}).$$

Diese Kennlinie steigt im Bereich –1 ≤ x ≤ 1 von y = –1 bis y = +1 monoton an. Der gesuchte Wert ist also g(x = +1) = +1.