Exercise 5.7Z: Matched Filter - All Gaussian
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- Am Eingang eines Filters liegt ein von weißem Rauschen mit der Rauschleistungsdichte N0 = 10–4 V2/Hz überlagerter Gaußimpuls mit der Amplitude g0 und der äquivalenten Dauer Δtg = 1 ms an:
- $$g(t) = g_0 \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {t/\Delta t_g } \right)^2 } .$$
- Die Impulsenergie beträgt Eg = 0.01 V2s. Das Empfangsfilter sei ein akausaler Gaußtiefpass mit dem Frequenzgang
- $$H_{\rm E} (f) = {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {f/\Delta f_{\rm E} } \right)^2 } .$$
- Die dazugehörige Impulsantwort lautet somit:
- $$h_{\rm E} (t) = \Delta f_{\rm E} \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta f_{\rm E} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}t} \right)^2 } .$$
- Die systemtheoretische Filterbandbreite ΔfE soll so gewählt werden, dass der Gaußtiefpass optimal an den Eingangsimpuls g(t) angepasst ist. Man spricht dann von einem Matched-Filter.
- Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 5.4. Benutzen Sie zur Lösung das folgende bestimmte Integral:
- $$\int_0^\infty {{\rm{e}}^{ - a^2 x^2 } {\rm{d}}x = \frac{{\sqrt {\rm{\pi }} }}{2a}} .$$
Fragebogen
Musterlösung
1. Für die Energie eines Impulses g(t) gilt allgemein bzw. bei diesem Beispiel:
- $$E_g = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {g(t)^2 \hspace{0.1cm}{\rm{d}}t} = g_0 ^2 \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {{\rm{e}}^{ - 2{\rm{\pi }}\left( {t/\Delta t_g } \right)^2 } \hspace{0.1cm}{\rm{d}}t} .$$
- Diese Gleichung kann wie folgt umgeformt werden:
- $$E_g = 2 \cdot g_0 ^2 \cdot \int_0^\infty {{\rm{e}}^{ - \left( {\sqrt {2 \rm{\pi }} /\Delta t_g } \right)^2 \cdot \hspace{0.05cm} t^2 }\hspace{0.1cm} {\rm{d}}t} .$$
- Mit a = (2π)1/2/Δtg und der angegebenen Formel gilt folgender Zusammenhang:
- $$E_g = 2 \cdot g_0 ^2 \cdot \frac{{\sqrt {\rm{\pi }} }}{2a} = \sqrt 2 \cdot g_0 ^2 \cdot \Delta t_g .$$
- Löst man diese Gleichung nach g0 auf, so erhält man als Endergebnis:
- $$g_0 = \sqrt {\frac{E_g }{\Delta t_g \cdot \sqrt 2 }} = \sqrt {\frac{{0.01\;{\rm{V}}^{\rm{2}} {\rm{s}}}}{{0.001\;{\rm{s}} \cdot 1.414}}} \hspace{0.15cm}\underline { = 2.659\;{\rm{V}}}.$$
- 2. Unter der Voraussetzung eines Matched-Filters lautet das S/N-Verhältnis am Ausgang:
- $$\rho _{d} ( {T_{{\rm{D,}}\,{\rm{opt}}} } ) = \frac{2 \cdot E_g }{N_0 } = \frac{{2 \cdot 10^{ - 2} \;{\rm{V}}^{\rm{2}} {\rm{s}}}}{{10^{ - 4} \;{\rm{V}}^{\rm{2}} {\rm{/Hz}}}} = 200.$$
- In logarithmischer Darstellung erhält man
- $$10 \cdot \lg \rho _{d} ( {T_{{\rm{D,}}\,{\rm{opt}}} } ) = 10 \cdot \lg \left( {200} \right) \hspace{0.15cm}\underline {\approx 23\;{\rm{dB}}}.$$
- 3. Ein Vergleich zwischen dem Eingangsimpuls und dem Filterfrequenzgang zeigt, dass bei Anpassung ΔfE = 1/Δtg gelten muss:
- $$\Delta f_{{\rm{E,}}\,{\rm{opt}}} \hspace{0.15cm}\underline { = 1\;{\rm{kHz}}}.$$
- 4. Eine kleinere Filterbandbreite ist günstig bezüglich Störungen, jedoch ungünstig hinsichtlich des Nutzsignals. Das heißt, der negative Einfluss überwiegt gegenüber dem positiven. Richtig sind also die Lösungsvorschläge 1 und 3.