Exercise 4.4: About the Quantization Noise

Quantisierungsfehler bei sägezahnförmigem Eingang

Zur Berechnung der Quantisierungsrauschleistung $P_{\rm Q}$ gehen wir von einem periodischen sägezahnförmigen Quellensignal $q(t)$ mit dem Wertebereich $±q_{\rm max}$ und der Periodendauer $T_0$ aus.

Im mittleren Zeitbereich $-T_0/2 ≤ t ≤ T_0/2$ gilt: $q(t) = q_{\rm max} \cdot \left ( {2 \cdot t}/{T_0} \right ).$
Die Leistung des Signals $q(t)$ bezeichnen wir hier als die Sendeleistung $P_{\rm S}$ .

$q(t)$ wird entsprechend der Grafik mit $M = 6$ Stufen quantisiert:

Der lineare Quantisierer ist für den Amplitudenbereich $±Q_{\rm max}$ ausgelegt, so dass jedes Quantisierungsintervall die Breite ${\it Δ} = 2/M · Q_{\rm max}$ aufweist.
Die Grafik zeigt diesen Sachverhalt für $Q_{\rm max} = q_{\rm max} = 6 \ \rm V$. Von diesen Zahlenwerten soll bis einschließlich Teilaufgabe (5) ausgegangen werden.

Die so genannte Quantisierungsrauschleistung ist als der quadratische Mittelwert des Differenzsignals $ε(t) = q_{\rm Q}(t) – q(t)$ definiert. Es gilt

$$P_{\rm Q} = \frac{1}{T_0' } \cdot \int_{0}^{T_0'}\varepsilon(t)^2 \hspace{0.05cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm},$$

wobei die Zeit $T_0'$ geeignet zu wählen ist.

Als Quantisierungs–SNR bezeichnet man das Verhältnis $\rho_{\rm Q} = {P_{\rm S}}/{P_{\rm Q}}\hspace{0.05cm},$ das meist logarithmisch (in dB) angegeben wird.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Pulscodemodulation.
Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten Quantisierung und Quantisierungsrauschen.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

$P_{\rm S} \ = \ $

$\ \rm V^2$

	$ε(t)$ hat einen sägezahnförmigen Verlauf.
	$ε(t)$ hat einen stufenförmigen Verlauf.
	$ε(t)$ ist auf den Bereich $±{\it Δ}/2 = ±1 \ \rm V$ beschränkt.
	$ε(t)$ besitzt die Periodendauer $T_0' = T_0/M$.

$P_{\rm Q} \ = \ $

$\ \rm V^2$

$10 · \lg \ ρ_{\rm Q} \ = \ $

$\ \rm dB$

$N = 8\text{:}\hspace{0.35cm}10 · \lg \ ρ_{\rm Q} \ = \ $

$\ \rm dB$

$N = 16\text{:}\hspace{0.15cm}10 · \lg \ ρ_{\rm Q} \ = \ $

$\ \rm dB$

	Alle Amplitudenwerte sind gleichwahrscheinlich.
	Es liegt ein linearer Quantisierer vor.
	Der Quantisierer ist genau an das Signal angepasst ($Q_{\rm max} = q_{\rm max}$).

Musterlösung

Solution

(1) Die Signalleistung $P_{\rm S} $ ist gleich dem quadratischen Mittelwert von $q(t)$, wenn der Bezugswiderstand $1 \ \rm Ω$ verwendet und deshalb für die Leistung die Einheit $\ \rm V^2$ in Kauf genommen wird. Aufgrund der Periodizität und der Symmetrie genügt die Mittelung über den Zeitbereich $T_0/2$:

$$P_{\rm S} = \frac{1}{T_0/2} \cdot \int_{0}^{T_0/2}q^2(t) \hspace{0.05cm}{\rm d}t = \frac{2 \cdot q_{\rm max}^2}{T_0} \cdot \int_{0}^{T_0/2}\left ( { 2 \cdot t}/{T_0} \right )^2 \hspace{0.05cm}{\rm d}t= \frac{2 \cdot q_{\rm max}^2}{T_0} \cdot \frac{T_0}{2} \cdot \int_{0}^{1}x^2 \hspace{0.05cm}{\rm d}x = \frac{q_{\rm max}^2}{3} \hspace{0.05cm}.$$

Hierbei wurde die Substitution $x = 2 · t/T_0$ verwendet. Mit $q_{\rm max} = 6 \ \rm V$ erhält man $P_\rm S = 12 \ V^2$.

Fehlersignal für Q_max = q_max

(2) Richtig sind also die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4:

Wir gehen hier von $Q_{\rm max} = q_{\rm max} = 6 \ \rm V$ aus.
Damit ergibt sich das sägezahnförmige Fehlersignal $ε(t)$ zwischen $±1\ \rm V$.
Die Periodendauer ist $T_0' = T_0/6$.

(3) Das Fehlersignal $ε(t)$ verläuft ebenso wie $q(t)$ sägezahnförmig. Somit eignet sich zur Berechnung des quadratischen Mittelwertes dieselbe Gleichung wie in Teilaufgabe (1). Zu beachten ist allerdings die um den Faktor $M$ kleinere Amplitude, während die unterschiedliche Periodendauer für die Mittelung keine Rolle spielt:

$$P_{\rm Q} = \frac{P_{\rm S}}{M^2} = \frac{12\,{\rm V}^2}{36}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.333\,{\rm V}^2 }\hspace{0.05cm}.$$

(4) Die Ergebnisse der Teilaufgaben (1) und (3) führen zum Quantisierungs–SNR:

$$\rho_{\rm Q} = \frac{P_{\rm S}}{P_{\rm Q}} = M^2 = 36 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm Q}\hspace{0.15cm}\underline { =15.56\,{\rm dB}} \hspace{0.05cm}.$$

(5) Mit $M = 2^N$ erhält man allgemein:

$$ \rho_{\rm Q} = M^2 = 2^{2N} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm Q} =20 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}(2)\cdot N \hspace{0.15cm}\underline {\approx 6.02\,{\rm dB}} \cdot N .$$

Daraus ergeben sich die gesuchten Sonderfälle:

$$N = 8:\hspace{0.2cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm Q} \hspace{0.15cm}\underline {= 48.16\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm},$$

$$N = 16:\hspace{0.2cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm Q} \hspace{0.15cm}\underline { = 96.32\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$

(6) Alle genannten Voraussetzungen müssen erfüllt sein:

Bei nichtlinearer Quantisierung gilt der einfache Zusammenhang $ρ_{\rm Q} = M^2$ nicht.
Bei einer anderen Amplitudenverteilung als der Gleichverteilung ist $ρ_{\rm Q} = M^2$ ebenfalls nur eine Näherung, die jedoch meist in Kauf genommen wird.
Ist $Q_{\rm max} < q_{\rm max}$, so kommt es zu einem unzulässigen Abschneiden der Spitzen, während mit $Q_{\rm max} > q_{\rm max}$ die Quantisierungsintervalle größer sind als erforderlich.

Quantisierung mit Q_max ≠ q_max

Die Grafik zeigt die Fehlersignale $ε(t)$ für $Q_{\rm max} > q_{\rm max}$ (links) und $Q_{\rm max} < q_{\rm max}$ (rechts). In beiden Fällen ergibt sich eine deutlich größere Quantisierungsrauschleistung als unter Punkt (3) berechnet.