Exercise 1.3Z: Threshold Optimization

In dieser Aufgabe wird ein bipolares Binärsystem mit AWGN–Rauschen („Additive White Gaussian Noise”) betrachtet, so dass für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit $$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \frac{s_0}{\sigma_d}\right)= \frac{1}{2} \cdot {\rm erfc} \left( \frac{s_0}{\sqrt{2} \cdot \sigma_d}\right) \hspace{0.05cm}$$ gilt. Hierbei sind folgende Funktionen verwendet: $$\rm Q (\it x) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\int_{\it x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d \it u \hspace{0.05cm},$$ $${\rm erfc} (\it x) = \frac{\rm 2}{\sqrt{\rm \pi}}\int_{\it x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}}\,d \it u \hspace{0.05cm}.$$ Die obige Gleichung gilt für den Schwellenwert E = 0 unabhängig von den Symbolwahrscheinlichkeiten p_L und p_H. Allerdings kann mit einem anderen Schwellenwert E eine kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit erzielt werden, wenn die beiden Auftrittswahrscheinlichkeiten unterschiedlich sind (p_L ≠ p_H) Die Streuung des Rauschanteils ist stets σ_d = 0.5 V, die beiden Amplituden des Detektionsnutzanteils sind mit ±1 V fest vorgegeben. Zu untersuchen sind folgende Symbolwahrscheinlichkeiten:

p_L = 0.88 und p_H = 0.12,
p_L = 0.31 und p_H = 0.69.

In der Grafik ist dieser letzte Parametersatz und der Schwellenwert E = 0.1 · s₀ dargestellt.

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel1.2. Für die Ableitung der Q–Funktion gilt: $$\frac{{\rm d\hspace{0.05cm}Q} (\it x)} {{\rm d}\hspace{0.05cm}x} = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}} \cdot \rm e^{\it -x^{\rm 2}/\rm 2} \hspace{0.05cm}.$$ Die Werte der Funktion Q(x) können Sie mit folgendem Interaktionsmodul bestimmen:

Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen

Fragebogen

Musterlösung

Solution

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

	erfc(x) = 2 · Q(2^1/2 · x),
	erfc(x) = 2^1/2 · Q(x/2^1/2),
	erfc(x) ≈ Q(x).