Exercise 3.13: Threshold Decision vs. DFE vs. Maximum Likelihood
Es sollen Fehlerwahrscheinlichkeiten verschiedener Empfängertypen miteinander verglichen werden. Im Einzelnen werden betrachtet:
- Schwellenwertentscheidung ($p_{\rm SE}$),
- Entscheidungsrückkopplung ($p_{\rm DFE}$) und
- Maximum–Likelihood–Detektion ($p_{\rm ML}$).
Der „Hauptwert” $g_0$, der Vorläufer $g_{\rm –1}$ und der Nachläufer $g_1$ des Detektionsgrundimpulses sowie der Detektionsstöreffektivwert vor dem jeweiligen Entscheider ($\sigma_d$) sind für vier Systemvarianten A, B, C und D in der Tabelle angegeben.
Ausgegangen wird von bipolaren Amplitudenkoeffizienten, so dass zum Beispiel für die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit des Empfängers mit einfachem Schwellenwertenentscheider gilt:
- $$p_{\rm U,\hspace{0.05cm} SE } = \left\{ \begin{array}{c} {\rm Q}\left[ ({g_0-|g_{-1}|-|g_{1}|})/{\sigma_d} \right]\\ \\{\rm Q}(0) = 0.5 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm bei }\hspace{0.15cm}{\rm ge\ddot{o}ffnetem }\hspace{0.15cm}{\rm Auge }, \\ \\{\rm bei }\hspace{0.15cm}{\rm geschlossenem }\hspace{0.15cm}{\rm Auge }. \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} \\ \end{array}$$
Beim Nyquistsystem A ist die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit genau so groß, nämlich
- $$p_{\rm SE } =p_{\rm U,\hspace{0.05cm} SE } = {\rm Q}\left( {g_0}/{\sigma_d} \right)= {\rm Q}(5) \approx 2.87 \cdot 10^{-7}\hspace{0.05cm}.$$
Bei den anderen hier betrachteten Systemvarianten B, C und D sind die Impulsinterferenzen so stark und der vorgegebene Störeffektivwert so klein, dass die folgende Näherung angewendet werden kann:
- $$p_{\rm SE } \approx {1}/{4} \cdot p_{\rm U,\hspace{0.05cm} SE } = {1}/{4} \cdot {\rm Q}\left( \frac {{\rm Max }\hspace{0.05cm}[0, \hspace{0.05cm}g_0-|g_{-1}|-|g_{1}|]}{\sigma_d} \right)\hspace{0.05cm}.$$
Mit Ausnahme des Nyquistsystems A (hier ist $p_{\rm DFE} = p_{\rm SE}$) gilt für den DFE–Empfänger statt dessen:
- $$p_{\rm DFE } \approx {1}/{2} \cdot p_{\rm U,\hspace{0.05cm} DFE } = {1}/{2} \cdot {\rm Q}\left( \frac{{\rm Max }\hspace{0.05cm}[0, \hspace{0.05cm}g_0-|g_{-1}|]}{\sigma_d} \right)\hspace{0.05cm}.$$
Dagegen wurde auf der letzten Theorieseite zu diesem Kapitel gezeigt, dass für einen Empfänger mit ML–Entscheidung folgende Näherung zutrifft:
- $$p_{\rm ML } = {\rm Q}\left( \frac{{\rm Max }\hspace{0.05cm}[g_{\nu}]}{\sigma_d} \right)\hspace{0.05cm}.$$
Hinweise:
- Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel Viterbi–Empfänger.
- Die Zahlenwerte der Q–Funktion können Sie mit dem Interaktionsmodul Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen ermitteln.
- Um den im Theorieteil angegebenen Algorithmus für zwei Vorläufer anwenden zu können, müssten Sie folgende Umbenennungen vornehmen:
- $$g_{1 }\hspace{0.1cm}\Rightarrow \hspace{0.1cm}g_{0 },\hspace{0.4cm} g_{0 }\hspace{0.1cm}\Rightarrow \hspace{0.1cm}g_{-1 },\hspace{0.4cm} g_{-1 }\hspace{0.1cm}\Rightarrow \hspace{0.1cm}g_{-2 } \hspace{0.05cm}.$$
Dies hat jedoch für die Berechnung der Fehlerwahrscheinlichkeiten keine Bedeutung.
Fragebogen
Musterlösung
