Exercise 1.3Z: Threshold Optimization

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Zur Optimierung des Schwellenwertes

In dieser Aufgabe wird ein bipolares Binärsystem mit AWGN–Rauschen („Additive White Gaussian Noise”) betrachtet, so dass für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit

$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \frac{s_0}{\sigma_d}\right)= \frac{1}{2} \cdot {\rm erfc} \left( \frac{s_0}{\sqrt{2} \cdot \sigma_d}\right) \hspace{0.05cm}$$

gilt. Hierbei sind folgende Funktionen verwendet:

$$\rm Q (\it x) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\int_{\it x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d \it u \hspace{0.05cm},$$

$${\rm erfc} (\it x) = \frac{\rm 2}{\sqrt{\rm \pi}}\int_{\it x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}}\,d \it u \hspace{0.05cm}.$$

Die obige Gleichung gilt für den Schwellenwert $E = 0$ unabhängig von den Symbolwahrscheinlichkeiten $p_{\rm L}$ und $p_{\rm H}$. Allerdings kann mit einem anderen Schwellenwert $E$ eine kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit erzielt werden, wenn die beiden Auftrittswahrscheinlichkeiten unterschiedlich sind ( $p_{\rm L} ≠ p_{\rm H}$ ) Die Streuung des Rauschanteils ist stets $σ_{\rm d} = 0.5 \ \rm V$, die beiden Amplituden des Detektionsnutzanteils sind mit $±1 V$ fest vorgegeben. Zu untersuchen sind folgende Symbolwahrscheinlichkeiten:

• $p_{\rm L} = 0.88$ und $p_{\rm H} = 0.12$,
• $p_{\rm L} = 0.31$ und $p_{\rm H} = 0.69.$

In der Grafik ist dieser letzte Parametersatz und der Schwellenwert $E = 0.1 \cdot s_{\rm 0}$ dargestellt.

Hinweise:

• Die Aufgabe bezieht sich auf das Fehlerwahrscheinlichkeit bei Basisbandübertragung. Für die Ableitung der Q–Funktion gilt:

$$\frac{{\rm d\hspace{0.05cm}Q} (\it x)} {{\rm d}\hspace{0.05cm}x} = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}} \cdot \rm e^{\it -x^{\rm 2}/\rm 2} \hspace{0.05cm}.$$

• Die Werte der Funktion Q(x) können Sie mit folgendem Interaktionsmodul bestimmen:

Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen

Fragebogen

1

Welcher Zusammenhang besteht zwischen Q(x) und erfc(x)?

	erfc$(x) = $ $2 \cdot$ Q($2^{1/2} \cdot x$),
	erfc$(x) = $ $2^{1/2} \cdot$ Q($x/2^{1/2}$),
	erfc$(x) \approx$ Q($x$).

2

Welche Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich mit $p_{\rm L} = 0.88$ und $E = 0$?

$E = 0: p_{\rm B} \ =\ $ $\%$

3

Welche Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich mit $p_{\rm L} = 0.88$ und $E = 0.1 \rm V$?

$E = 0.1 \rm V: $ $p_{\rm B} \ =\ $ $\%$

4

Bestimmen Sie den optimalen Schwellenwert für $p_{\rm L} = 0.88$.

$ p_{\rm L} = 0.88: E_{\rm opt} \ =\ $ $\ \rm V$

5

Wie groß ist die minimale Fehlerwahrscheinlichkeit mit $p_{\rm L} = 0.88$.

$ p_{\rm L} = 0.88: E_{\rm opt}: p_{\rm B,\ min} \ =\ $ $\%$

Musterlösung

Solution

(1)  (2)  (3)  (4)  (5)  (6)