Exercise 3.13: Threshold Decision vs. DFE vs. Maximum Likelihood
Es sollen Fehlerwahrscheinlichkeiten verschiedener Empfängertypen miteinander verglichen werden. Im Einzelnen werden betrachtet:
- Schwellenwertentscheidung ($p_{\rm SE}$),
- Entscheidungsrückkopplung ($p_{\rm DFE}$) und
- Maximum–Likelihood–Detektion ($p_{\rm ML}$).
Der „Hauptwert” $g_0$, der Vorläufer $g_{\rm –1}$ und der Nachläufer $g_1$ des Detektionsgrundimpulses sowie der Detektionsstöreffektivwert vor dem jeweiligen Entscheider ($\sigma_d$) sind für vier Systemvarianten A, B, C und D in der Tabelle angegeben.
Ausgegangen wird von bipolaren Amplitudenkoeffizienten, so dass zum Beispiel für die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit des Empfängers mit einfachem Schwellenwertenentscheider gilt:
- $$p_{\rm U,\hspace{0.05cm} SE } = \left\{ \begin{array}{c} {\rm Q}\left[ ({g_0-|g_{-1}|-|g_{1}|})/{\sigma_d} \right]\\ \\{\rm Q}(0) = 0.5 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm bei }\hspace{0.15cm}{\rm ge\ddot{o}ffnetem }\hspace{0.15cm}{\rm Auge }, \\ \\{\rm bei }\hspace{0.15cm}{\rm geschlossenem }\hspace{0.15cm}{\rm Auge }. \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} \\ \end{array}$$
Beim Nyquistsystem A ist die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit genau so groß, nämlich
- $$p_{\rm SE } =p_{\rm U,\hspace{0.05cm} SE } = {\rm Q}\left( {g_0}/{\sigma_d} \right)= {\rm Q}(5) \approx 2.87 \cdot 10^{-7}\hspace{0.05cm}.$$
Bei den anderen hier betrachteten Systemvarianten B, C und D sind die Impulsinterferenzen so stark und der vorgegebene Störeffektivwert so klein, dass die folgende Näherung angewendet werden kann:
- $$p_{\rm SE } \approx {1}/{4} \cdot p_{\rm U,\hspace{0.05cm} SE } = {1}/{4} \cdot {\rm Q}\left( \frac {{\rm Max }\hspace{0.05cm}[0, \hspace{0.05cm}g_0-|g_{-1}|-|g_{1}|]}{\sigma_d} \right)\hspace{0.05cm}.$$
Mit Ausnahme des Nyquistsystems A (hier ist $p_{\rm DFE} = p_{\rm SE}$) gilt für den DFE–Empfänger statt dessen:
- $$p_{\rm DFE } \approx {1}/{2} \cdot p_{\rm U,\hspace{0.05cm} DFE } = {1}/{2} \cdot {\rm Q}\left( \frac{{\rm Max }\hspace{0.05cm}[0, \hspace{0.05cm}g_0-|g_{-1}|]}{\sigma_d} \right)\hspace{0.05cm}.$$
Dagegen wurde auf der letzten Theorieseite zu diesem Kapitel gezeigt, dass für einen Empfänger mit ML–Entscheidung folgende Näherung zutrifft:
- $$p_{\rm ML } = {\rm Q}\left( \frac{{\rm Max }\hspace{0.05cm}[g_{\nu}]}{\sigma_d} \right)\hspace{0.05cm}.$$
Hinweise:
- Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel Viterbi–Empfänger.
- Die Zahlenwerte der Q–Funktion können Sie mit dem Interaktionsmodul Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen ermitteln.
- Um den im Theorieteil angegebenen Algorithmus für zwei Vorläufer anwenden zu können, müssten Sie folgende Umbenennungen vornehmen:
- $$g_{1 }\hspace{0.1cm}\Rightarrow \hspace{0.1cm}g_{0 },\hspace{0.4cm} g_{0 }\hspace{0.1cm}\Rightarrow \hspace{0.1cm}g_{-1 },\hspace{0.4cm} g_{-1 }\hspace{0.1cm}\Rightarrow \hspace{0.1cm}g_{-2 } \hspace{0.05cm}.$$
Dies hat jedoch für die Berechnung der Fehlerwahrscheinlichkeiten keine Bedeutung.
Fragebogen
Musterlösung
- $$ p_{\rm DFE } = p_{\rm ML } = p_{\rm SE } \hspace{0.15cm}\underline {\approx 2.87 \cdot 10^{-7}} \hspace{0.05cm}.$$
(2) Mit $g_0 = 0.6$, $g_{\rm –1} = 0.1$ und $g_1 = 0.3$ erhält man näherungsweise:
- $$p_{\rm SE } \ \approx \ {1}/{4} \cdot {\rm Q}\left( \frac{0.6-0.1-0.3}{0.2} \right)= {1}/{4} \cdot{\rm Q}(1) \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.04 \hspace{0.05cm}},$$
- $$ p_{\rm DFE } \ \approx \ {1}/{2} \cdot {\rm Q}\left( \frac{0.6-0.1}{0.2} \right)= {1}/{2} \cdot {\rm Q}(2.5) \hspace{0.15cm}\underline {\approx 3.1 \cdot 10^{-3}} \hspace{0.05cm},$$
- $$ p_{\rm ML } \ \approx \ {\rm Q}\left( \frac{0.6}{0.2} \right) = {\rm Q}(3) \hspace{0.15cm}\underline {\approx 1.35 \cdot 10^{-3}} \hspace{0.05cm}.$$
(3) Die Fehlerwahrscheinlichkeiten lauten mit $g_0 = 0.4$ und $g_1 = g_{\rm –1} = 0.3$:
- $$p_{\rm SE } \ \approx \ {1}/{4} \cdot{\rm Q}(0) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.125} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm geschlossenes }\hspace{0.15cm}{\rm Auge } \hspace{0.05cm},$$
- $$ p_{\rm DFE } \ \approx \ {1}/{2} \cdot {\rm Q}\left( \frac{0.4-0.3}{0.2} \right)= {1}/{2} \cdot {\rm Q}(0.5) \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.15 \hspace{0.05cm}},$$
- $$ p_{\rm ML } \ \approx \ {\rm Q}\left( \frac{0.4}{0.2} \right) = {\rm Q}(2) \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.0227} \hspace{0.05cm}.$$
Interessant – und nicht etwa ein Rechenfehler – ist, dass die DFE schlechter ist als der herkömmliche Schwellenwertentscheider, wenn die Fehlerwahrscheinlichkeit $10\%$ oder mehr beträgt (siehe dazu auch die Musterlösung zur Teilaufgabe (4)).
(4) Nun ergibt sich auch für den DFE–Empfänger ein geschlossenes Auge. Die Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm DFE}$ ist größer als $p_{\rm SE}$, da nun die ungünstigste Symbolfolge häufiger auftritt. Nach der angegebenen einfachen Näherung gilt:
- $$p_{\rm SE } = {1}/{4} \cdot{\rm Q}(0) = 0.125\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} p_{\rm DFE } = {1}/{2} \cdot{\rm Q}(0) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.250} \hspace{0.05cm}.$$
Bei exakter Rechnung erhält man dagegen:
- $$p_{\rm SE } & = & {1}/{4} \cdot {\rm Q}\left( \frac{0.3-0.4-0.3}{0.2}\right) + {1}/{4} \cdot{\rm Q}\left( \frac{0.3-0.4+0.3}{0.2}\right)+\\ & + & {1}/{4} \cdot {\rm Q}\left( \frac{0.3+0.4-0.3}{0.2}\right) +{1}/{4} \cdot{\rm Q}\left( \frac{0.3+0.4+0.3}{0.2}\right)= \\ & = &{1}/{4} \cdot \left[ {\rm Q}(-2) + {\rm Q}(1) +{\rm Q}(2) +{\rm Q}(5) \right] ={1}/{4} \cdot \left[ 1+ {\rm Q}(1) +{\rm Q}(5) \right] \hspace{0.05cm}.$$
