Exercise 3.13: Threshold Decision vs. DFE vs. Maximum Likelihood

Fehlerwahrscheinlichkeitsvergleich SW - DFE - ML

Es sollen Fehlerwahrscheinlichkeiten verschiedener Empfängertypen miteinander verglichen werden. Im Einzelnen werden betrachtet:

Schwellenwertentscheidung ($p_{\rm SE}$),
Entscheidungsrückkopplung ($p_{\rm DFE}$) und
Maximum–Likelihood–Detektion ($p_{\rm ML}$).

Der „Hauptwert” $g_0$, der Vorläufer $g_{\rm –1}$ und der Nachläufer $g_1$ des Detektionsgrundimpulses sowie der Detektionsstöreffektivwert vor dem jeweiligen Entscheider ($\sigma_d$) sind für vier Systemvarianten A, B, C und D in der Tabelle angegeben.

Ausgegangen wird von bipolaren Amplitudenkoeffizienten, so dass zum Beispiel für die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit des Empfängers mit einfachem Schwellenwertenentscheider gilt:

$$p_{\rm U,\hspace{0.05cm} SE } = \left\{ \begin{array}{c} {\rm Q}\left[ ({g_0-|g_{-1}|-|g_{1}|})/{\sigma_d} \right]\\ \\{\rm Q}(0) = 0.5 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm bei }\hspace{0.15cm}{\rm ge\ddot{o}ffnetem }\hspace{0.15cm}{\rm Auge }, \\ \\{\rm bei }\hspace{0.15cm}{\rm geschlossenem }\hspace{0.15cm}{\rm Auge }. \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} \\ \end{array}$$

Beim Nyquistsystem A ist die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit genau so groß, nämlich

$$p_{\rm SE } =p_{\rm U,\hspace{0.05cm} SE } = {\rm Q}\left( {g_0}/{\sigma_d} \right)= {\rm Q}(5) \approx 2.87 \cdot 10^{-7}\hspace{0.05cm}.$$

Bei den anderen hier betrachteten Systemvarianten B, C und D sind die Impulsinterferenzen so stark und der vorgegebene Störeffektivwert so klein, dass die folgende Näherung angewendet werden kann:

$$p_{\rm SE } \approx {1}/{4} \cdot p_{\rm U,\hspace{0.05cm} SE } = {1}/{4} \cdot {\rm Q}\left( \frac {{\rm Max }\hspace{0.05cm}[0, \hspace{0.05cm}g_0-|g_{-1}|-|g_{1}|]}{\sigma_d} \right)\hspace{0.05cm}.$$

Mit Ausnahme des Nyquistsystems A (hier ist $p_{\rm DFE} = p_{\rm SE}$) gilt für den DFE–Empfänger statt dessen:

$$p_{\rm DFE } \approx {1}/{2} \cdot p_{\rm U,\hspace{0.05cm} DFE } = {1}/{2} \cdot {\rm Q}\left( \frac{{\rm Max }\hspace{0.05cm}[0, \hspace{0.05cm}g_0-|g_{-1}|]}{\sigma_d} \right)\hspace{0.05cm}.$$

Dagegen wurde auf der letzten Theorieseite zu diesem Kapitel gezeigt, dass für einen Empfänger mit ML–Entscheidung folgende Näherung zutrifft:

$$p_{\rm ML } = {\rm Q}\left( \frac{{\rm Max }\hspace{0.05cm}[g_{\nu}]}{\sigma_d} \right)\hspace{0.05cm}.$$

Hinweise:

Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel Viterbi–Empfänger.
Die Zahlenwerte der Q–Funktion können Sie mit dem Interaktionsmodul Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen ermitteln.
Um den im Theorieteil angegebenen Algorithmus für zwei Vorläufer anwenden zu können, müssten Sie folgende Umbenennungen vornehmen:

$$g_{1 }\hspace{0.1cm}\Rightarrow \hspace{0.1cm}g_{0 },\hspace{0.4cm} g_{0 }\hspace{0.1cm}\Rightarrow \hspace{0.1cm}g_{-1 },\hspace{0.4cm} g_{-1 }\hspace{0.1cm}\Rightarrow \hspace{0.1cm}g_{-2 } \hspace{0.05cm}.$$

Dies hat jedoch für die Berechnung der Fehlerwahrscheinlichkeiten keine Bedeutung.

Fragebogen

${\rm System \ A} \text{:} \hspace{0.2cm} p_{\rm ML} $ =

$\ \cdot 10^{\rm –7} $

${\rm System \ B} \text{:} \hspace{0.2cm} p_{\rm SE} $ =

$\ \cdot 10^{\rm –2} $

${\rm System \ B} \text{:} \hspace{0.2cm} p_{\rm DFE} $ =

$\ \cdot 10^{\rm –3} $

${\rm System \ B} \text{:} \hspace{0.2cm} p_{\rm ML} $ =

$\ \cdot 10^{\rm –3} $

${\rm System \ C} \text{:} \hspace{0.2cm} p_{\rm SE} $ =

$\ \cdot 10^{\rm 0} $

${\rm System \ C} \text{:} \hspace{0.2cm} p_{\rm DFE} $ =

$\ \cdot 10^{\rm 0} $

${\rm System \ C} \text{:} \hspace{0.2cm} p_{\rm ML} $ =

$\ \cdot 10^{\rm –2} $

${\rm System \ D} \text{:} \hspace{0.2cm} p_{\rm SE} $ =

$\ \cdot 10^{\rm 0} $

${\rm System \ D} \text{:} \hspace{0.2cm} p_{\rm DFE} $ =

$\ \cdot 10^{\rm 0} $

${\rm System \ D} \text{:} \hspace{0.2cm} p_{\rm ML} $ =

$\ \cdot 10^{\rm –2} $

Musterlösung

Solution

(1) Ohne Impulsinterferenzen bringen der DFE– und der ML–Empfänger keine Verbesserung gegenüber der einfachen Schwellenwertentscheidung:

$$ p_{\rm DFE } = p_{\rm ML } = p_{\rm SE } \hspace{0.15cm}\underline {\approx 2.87 \cdot 10^{-7}} \hspace{0.05cm}.$$

(2) Mit $g_0 = 0.6$, $g_{\rm –1} = 0.1$ und $g_1 = 0.3$ erhält man näherungsweise:

$$p_{\rm SE } \ \approx \ {1}/{4} \cdot {\rm Q}\left( \frac{0.6-0.1-0.3}{0.2} \right)= {1}/{4} \cdot{\rm Q}(1) \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.04 \hspace{0.05cm}},$$

$$ p_{\rm DFE } \ \approx \ {1}/{2} \cdot {\rm Q}\left( \frac{0.6-0.1}{0.2} \right)= {1}/{2} \cdot {\rm Q}(2.5) \hspace{0.15cm}\underline {\approx 3.1 \cdot 10^{-3}} \hspace{0.05cm},$$

$$ p_{\rm ML } \ \approx \ {\rm Q}\left( \frac{0.6}{0.2} \right) = {\rm Q}(3) \hspace{0.15cm}\underline {\approx 1.35 \cdot 10^{-3}} \hspace{0.05cm}.$$

(3) Die Fehlerwahrscheinlichkeiten lauten mit $g_0 = 0.4$ und $g_1 = g_{\rm –1} = 0.3$:

$$p_{\rm SE } \ \approx \ {1}/{4} \cdot{\rm Q}(0) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.125} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm geschlossenes }\hspace{0.15cm}{\rm Auge } \hspace{0.05cm},$$

$$ p_{\rm DFE } \ \approx \ {1}/{2} \cdot {\rm Q}\left( \frac{0.4-0.3}{0.2} \right)= {1}/{2} \cdot {\rm Q}(0.5) \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.15 \hspace{0.05cm}},$$

$$ p_{\rm ML } \ \approx \ {\rm Q}\left( \frac{0.4}{0.2} \right) = {\rm Q}(2) \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.0227} \hspace{0.05cm}.$$

Interessant – und nicht etwa ein Rechenfehler – ist, dass die DFE schlechter ist als der herkömmliche Schwellenwertentscheider, wenn die Fehlerwahrscheinlichkeit $10\%$ oder mehr beträgt (siehe dazu auch die Musterlösung zur Teilaufgabe (4)).

(4) Nun ergibt sich auch für den DFE–Empfänger ein geschlossenes Auge. Die Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm DFE}$ ist größer als $p_{\rm SE}$, da nun die ungünstigste Symbolfolge häufiger auftritt. Nach der angegebenen einfachen Näherung gilt:

$$p_{\rm SE } = {1}/{4} \cdot{\rm Q}(0) = 0.125\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} p_{\rm DFE } = {1}/{2} \cdot{\rm Q}(0) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.250} \hspace{0.05cm}.$$

Bei exakter Rechnung erhält man dagegen:

$$p_{\rm SE } \ = \ {1}/{4} \cdot {\rm Q}\left( \frac{0.3-0.4-0.3}{0.2}\right) + {1}/{4} \cdot{\rm Q}\left( \frac{0.3-0.4+0.3}{0.2}\right)+$$

$$\ = \ {1}/{4} \cdot {\rm Q}\left( \frac{0.3+0.4-0.3}{0.2}\right) +{1}/{4} \cdot{\rm Q}\left( \frac{0.3+0.4+0.3}{0.2}\right)= $$

$$\ = \ 1}/{4} \cdot \left[ {\rm Q}(-2) + {\rm Q}(1) +{\rm Q}(2) +{\rm Q}(5) \right] ={1}/{4} \cdot \left[ 1+ {\rm Q}(1) +{\rm Q}(5) \right] \hspace{0.05cm}.$$

Wegen ${\rm Q}(–2) + {\rm Q}(2) = 1$ und ${\rm Q}(5) \approx 0$ erhält man daraus $p_{\rm SE} \approx 25.5\%$.

Entsprechend gilt für den DFE–Empfänger:

$$p_{\rm DFE } \ = \ {1}/{2} \cdot {\rm Q}\left( \frac{0.3-0.4}{0.2}\right) + {1}/{2} \cdot{\rm Q}\left( \frac{0.3+0.4}{0.2}\right)=$$

$$\ = \ {1}/{2} \cdot \left[ {\rm Q}(-0.5) + {\rm Q}(3.5) \right]\approx\frac{1- {\rm Q}(0.5)}{2}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.35} \hspace{0.05cm}.$$

Dagegen beträgt die Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm ML}$ eines Maximum–Likelihood–Empfängers weiterhin ${\rm Q}(2) \underline {= 2.27\%}$. Die Reihenfolge der Detektionsgrundimpulswerte ist für die Fehlerwahrscheinlichkeit des Viterbi–Empfängers (nahezu) nicht von Bedeutung.