Exercise 4.07: Decision Boundaries once again

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WDF mit ungleichen Symbolwahrscheinlichkeiten

Wir betrachten ein Übertragungssystem mit

• nur einer Basisfunktino ($N = 1$),
• zwei Signalen $s_0 = E_s^{\rm 1/2}$ und $s_1 = \, –E_s^{\rm 1/2} (M = 2)$,
• einem AWGN–Kanal mit Varianz $\sigma_n^2 = N_0/2$.

Da in dieser Aufgabe der allgemeine Fall ${\rm Pr}(m_0) ≠ {\rm Pr}(m_1)$ behandelt wird, genügt es nicht, die bedingten Dichtefunktionen $p_{\it r|m_i}(\rho |m_i)$ zu betrachten. Vielmehr müssen diese noch mit den Symbolwahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(m_i)$ multipliziert weden (für $i$ sind hier die Werte $0$ und $1$ einzusetzen).

Liegt die Entscheidungsgrenze zwischen den beiden Regionen $I_0$ und $I_1$ bei $G = 0$, also in der Mitte zwischen $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{s}_1$, so ist die Fehlerwahrscheinlichkeit unabhängig von den Auftrittswahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(m_0)$ und ${\rm Pr}(m_1)$:

$$p_{\rm S} = {\rm Pr}({ \cal E} ) = {\rm Q} \left ( \frac{d/2}{\sigma_n} \right ) \hspace{0.05cm}.$$

Hierbei gibt $d$ den Abstand zwischen den Signalpunkten $s_0$ und $s_1$ an und $d/2$ dementsprechend den jeweiligen Abstand von $s_0$ bzw. $s_1$ von der Entscheidungsgrenze $G = 0$. Der Effektivwert (Wurzel aus der Varianz) des AWGN–Rauschens ist $\sigma_n$.

Sind dagegen die Auftrittswahrscheinlichkeiten unterschiedlich ⇒ ${\rm Pr}(m_0) ≠ {\rm Pr}(m_1)$, so kann durch eine Verschiebung der Entscheidergrenze $G$ eine kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit erzielt werden:

$$p_{\rm S} = {\rm Pr}(m_1) \cdot {\rm Q} \left ( \frac{d/2}{\sigma_n} \cdot (1 + \gamma) \right ) + {\rm Pr}(m_0) \cdot {\rm Q} \left ( \frac{d/2}{\sigma_n} \cdot (1 - \gamma) \right )\hspace{0.05cm},$$

wobei die Hilfsgröße $\gamma$ wie folgt definiert ist:

$$\gamma = 2 \cdot \frac{ \sigma_n^2}{d^2} \cdot {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}( m_1)}{{\rm Pr}( m_0)} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} G_{\rm opt} = \gamma \cdot E_{\rm S}^{1/2}\hspace{0.05cm}.$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit.
• Die Werte der Q–Funktion können Sie mit folgendem Interaktionsmodul ermitteln: Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion.

Fragebogen

1

Wie groß sind die der Grafik zugrundeliegenden Symbolwahrscheinlichkeiten, wenn die blaue Gaußkurve genau doppelt so hoch ist wie die rote?

${\rm Pr}(m_0)$ =

${\rm Pr}(m_1)$ =

2

Wie groß ist die Fehlerwahrscheinlichkeit mit der Rauschvarianz $\sigma_n^2 = E_{\rm S}/9$ und der Entscheidergrenze $G = 0$?

$G = 0 \text{:} \hspace{0.2cm} p_{\rm S}$ = $\ \cdot 10^{\rm –2}$

3

Wie lautet die optimale Schwelle für die gegebenen Wahrscheinlichkeiten?

$G_{\rm opt}$ = $\ \cdot E_s^{\rm 1/2}$

4

Wie groß ist nun die Fehlerwahrscheinlichkeit?

$G = G_{\rm opt} \text{:} \hspace{0.2cm} p_{\rm S}$ = $\ \cdot 10^{\rm –2}$

5

Welche Fehlerwahrscheinlichkeiten erhält man mit der Rauschvarianz $\sigma_n^2 = E_{\rm S}$?

$G = 0 \text{:} \hspace{0.2cm} p_{\rm S}$ = $\ \cdot 10^{\rm 0}$

$G = G_{\rm opt} \text{:} \hspace{0.2cm} p_{\rm S}$ = $\ \cdot 10^{\rm 0}$

6

Welche Aussagen gelten für die Rauschvarianz $\sigma_n^2 = 4 \cdot E_{\rm S}$?

	Mit $G = 0$ ist die Fehlerwahrscheinlichkeit größer als $30\%$.
	Die optimale Entscheiderschwelle liegt rechts von $s_0$.
	Bei optimaler Schwelle ist die Fehlerwahrscheinlichkeit etwa $27\%$.
	Der Schätzwert $m_0$ ist nur mit Rauschen möglich.

Musterlösung

Solution

(1)  Die Höhen der beiden gezeichneten Dichtefunktionen – unter Berücksichtigung von ${\rm Pr}(m_0)$ und ${\rm Pr}(m_1)$ – sind proportional zu diesen Auftrittswahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(m_0)$ und ${\rm Pr}(m_1)$. Aus

$${\rm Pr}(m_1) = 2 \cdot {\rm Pr}(m_0) \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} {\rm Pr}(m_0) + {\rm Pr}(m_1) = 1$$

folgt direkt ${\rm Pr}(m_0) = 1/3 \ \underline {\approx 0.333}$ und ${\rm Pr}(m_1) = 2/3 \ \underline {\approx 0.667}$.

(2) 

(3) 

(4) 

(5)