Exercise 3.5: Recursive Filters for GF(2)
Die obere der beiden dargestellten Schaltungen zeigt ein rekursives Filter zweiter Ordnung in allgemeiner Form. Mit
- $$A(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} a_0 + a_1 \cdot D + a_2 \cdot D^2 \hspace{0.05cm},$$
- $$B(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 1 + b_1 \cdot D + b_2 \cdot D^2 $$
erhält man für die Übertragungsfunktion
- $$G(D) = \frac{A(D)}{B(D)} = \frac{a_0 + a_1 \cdot D + a_2 \cdot D^2}{1 + b_1 \cdot D + b_2 \cdot D^2} \hspace{0.05cm}.$$
Zu beachten ist, dass sich alle Rechenoperationen auf ${\rm GF(2)}$ beziehen. Damit sind auch die Filterkoeffizienten $a_0, a_1, a_2, b_1$ und $b_2$ binär (entweder $0$ oder $1$).
Die untere Grafik zeigt das für die vorliegende Aufgabe spezifische Filter. Ein Filterkoeffizient ergibt sich zu $a_i = 1$, wenn die Verbindung durchgeschaltet ist $(0 ≤ i ≤ 2)$. Andernfalls ist $a_i = 0$. Die gleiche Systematik gilt für die Koeffizienten $b_1$ und $b_2$.
In den Teilaufgaben (1), ... , (3) sollen Sie für verschiedene Eingangssequenzen
- $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, ...)$,
- $\underline{u} = (0, \, 1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 1, \, ...)$,
- $\underline{u} = (1, \, 1, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, ...)$
die jeweilige Ausgangssequenz $\underline{x}$ anhand der vorgegebenen Schaltung ermitteln. Es ist zu berücksichtigen:
- Besteht die Eingangssequenz $\underline{u}$ aus einer Eins gefolgt von lauter Nullen, so bezeichnet man diese spezifische Ausgangssequenz $\underline{x}$ als die Impulsantwort $\underline{g}$, und es gilt:
- $$\underline{g} \hspace{0.15cm} \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm}{G}(D)\hspace{0.05cm}. $$
- Andernfalls ergibt sich die Ausgangssequenz als das Faltungsprodukt zwischen Eingangssequenz und Impulsantwort:
- $$\underline{x} = \underline{u} * \underline{g} \hspace{0.05cm}.$$
- Die Faltungsoperation lässt sich mit dem Umweg über die $D$–Transformation umgehen.
Hinweis:
- Die Aufgabe bezieht sich auf die letzte Seite des Kapitels Algebraische und polynomische Beschreibung.
Fragebogen
Musterlösung
- $$w_i \hspace{-0.2cm} \ = \ \hspace{-0.2cm} u_i + w_{i-1} + w_{i-2} \hspace{0.05cm},$$
- $$x_i \hspace{-0.2cm} \ = \ \hspace{-0.2cm} w_i + w_{i-2} $$
das Ergebnis $\underline{g} = \underline{x} = (1, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, ...)$ entsprechend Lösungsvorschlag 2, wie nebenstehende Berechnung zeigt.
Man erkennt aus diesem Berechnungsschema weiter folgende Periodizitäten der Impulsantwort $\underline{g}$ (bis ins Unendliche) wegen jeweils gleicher Registerbelegung:
- $$g_3 \hspace{-0.2cm} \ = \ \hspace{-0.2cm} g_6 = g_9 = \hspace{0.05cm}... \hspace{0.05cm}= 1 \hspace{0.05cm},$$
- $$g_4 \hspace{-0.2cm} \ = \ \hspace{-0.2cm} g_7 = g_{10} =\hspace{0.05cm} ... \hspace{0.05cm}= 0 \hspace{0.05cm},$$
- $$g_5 \hspace{-0.2cm} \ = \ \hspace{-0.2cm} g_8 = g_{11} =\hspace{0.05cm} ... \hspace{0.05cm}= 1 \hspace{0.05cm}.$$
Richtig ist also zusätzlich auch noch der Lösungsvorschlag 3.
Zum gleichen Ergebnis gelangt man, wenn man die um eine, drei, sechs, bzw. sieben Positionen (nach rechts) verschobenen Impulsantworten $\underline{g} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, ...)$ im Galoisfeld ${\rm GF(2)}$ addiert:
- $$\underline{x} \hspace{-0.2cm} \ = \ \hspace{-0.2cm} (0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} ...\hspace{0.05cm}) + $$
- $$\ + \ \hspace{-0.2cm} (0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} ...\hspace{0.05cm}) + $$
- $$\ + \ \hspace{-0.2cm} (0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} ...\hspace{0.05cm}) + $$
- $$\ + \ \hspace{-0.2cm} (0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} ...\hspace{0.05cm}) = $$
- $$\ = \ \hspace{-0.2cm} (0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} ...\hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm}. $$
Aufgrund der Linearität des betrachteten Systems ist dies erlaubt.
(3) Hier wählen wir den Weg über die $D$–Transformierten:
- $$\underline{u}= (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad U(D) = 1+ D + D^2 \hspace{0.05cm}.$$
Mit der Übertragungsfunktion $G(D) = (1 + D^2)/(1 + D + D^2)$ erhält man somit für die $D$–Transformierte der Ausgangssequenz:
- $$X(D) = {U(D)} \cdot G(D) = {1+D+D^2} \cdot \frac{1+D^2}{1+D+D^2} = 1+D^2 \hspace{0.05cm}$$
\Rightarrow \hspace{0.3cm}\underline{x} = (1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} ... \hspace{0.05cm} ) \hspace{0.05cm}.
Richtig ist demnach nur der Lösungsvorschlag 1: Trotz unendlich langer Impulsantwort $\underline{g}$ ist bei dieser Eingangssequenz $\underline{u}$ die Ausgangssequenz $\underline{x}$ auf drei Bit begrenzt. Zum gleichen Ergebnis kommt man wieder durch Addition verschobener Impulsantworten:
- $$\underline{x} \hspace{-0.2cm} \ = \ \hspace{-0.2cm} (1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} ...\hspace{0.05cm}) + $$
- $$\ + \ \hspace{-0.2cm} (0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} ...\hspace{0.05cm}) + $$
- $$\ + \ \hspace{-0.2cm} (0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} ...\hspace{0.05cm}) = $$
- $$\ = \ \hspace{-0.2cm} (1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} ...\hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm}. $$
(4) Auf dem Angabenblatt ist die allgemeine Übertragungsfunktion eines rekursiven Filters 2. Ordnung wie folgt gegeben.