Exercise 2.4: GF(2 to the Power of 2) Representation Forms

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${\rm GF}(2^2)$ in drei verschiedenen Darstellungen

Nebenstehend sehen Sie für den Erweiterungskörper $\rm GF(2^2)$ die Additions– sowie die Multiplikationstabelle in drei verschiedenen Varianten:

• die Polynomdarstellung,
• die Koeffizientenvektordarstellung,
• die Exponentendarstellung.

Hinweise:

• Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel Erweiterungskörper.
• Alle notwendigen Informationen zu ${\rm GF}(2^2)$ finden Sie auf der Seite 1 dieses Kapitels.

Fragebogen

1

Welche Charakteristika erkennt man aus der Polynomdarstellung?

	Die Elemente $\alpha$ und $1 + \alpha$ sind weder $0$ noch $1$.
	Die Rechenoperationen erfolgen modulo $2$.
	Die Rechenoperationen erfolgen modulo $4$.
	Man erkennt „$\alpha^2 + \alpha + 1 = 0$” aus der Additionstabelle.
	Man erkennt „$\alpha^2 + \alpha + 1 = 0$” aus der Multiplikationstabelle.

2

Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Koeffizientenvektor– und der Polynomdarstellung? Es gelte $k_0 ∈ \{0, \, 1\}$ und $k_1 ∈ \{0, \, 1\}$.

	$(k_0 \ k_1)$ bezieht sich auf das Element $k_1 \cdot \alpha + k_0$.
	$(k_1 \ k_0)$ bezieht sich auf das Element $k_1 \cdot \alpha + k_0$.
	Zwischen beiden Darstellungen besteht keinerlei Zusammenhang.

3

Wie hängen Polynom– und Exponentialdarstellung zusammen?

	Es sind keine Zusammenhänge erkennbar.
	Die Elemente $0, \ 1$ und $\alpha$ sind in beiden Darstellungen gleich.
	Das Element $1 + \alpha$ lautet in der Exponentialdarstellung $\alpha^2$.
	Das Element $\alpha^2$ der Exponentialdarstellung steht für $\alpha \cdot (1 + \alpha)$.

4

Berechnen Sie die Ausdrücke $A$ und $B$ nach diesen drei Darstellungsformen. Welche Aussagen treffen zu?

	Es gilt $A = z_2 \cdot z_2 + z_2 \cdot z_3 + z_3 \cdot z_3 = z_0$,
	Es gilt $B = (z_0 + z_1 + z_2) \cdot (z_0 + z_1 + z_3) = z_1$,
	Es gilt $A = z_2 \cdot z_2 + z_2 \cdot z_3 + z_3 \cdot z_3 = z_2$,
	Es gilt $B = (z_0 + z_1 + z_2) \cdot (z_0 + z_1 + z_3) = z_3$.

Musterlösung

Solution

(1)  (2)  (3)  (4)  (5)