Exercise 3.5Z: Application of the Residue Theorem
Die Spektralfunktion $Y_{\rm L}(p)$ sei in Pol–Nullstellen–Form gegeben, gekennzeichnet durch
- $Z$ Nullstellen $p_{{\rm o}i}$,
- $N$> Pole $p_{{\rm x}i}$, sowie
- die Konstante $K$.
Betrachtet werden in dieser Aufgabe die in der Grafik dargestellten Konfigurationen, wobei stets $K= 2$ gilt.
Für den Fall, dass die Anzahl $Z$ der Nullstellen kleiner als die Anzahl $N$ der Pole ist, kann das zugehörige Zeitsignal $y(t)$ durch Anwendung des Residuensatzes direkt ermittelt werden. In diesem Fall gilt $$y(t) = \sum_{i=1}^{I} \left \{ Y_{\rm L}(p)\cdot (p - p_{{\rm x}i})\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p \hspace{0.05cm}t} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}i}} \right \} \hspace{0.05cm},$$ wobei $I$ die Anzahl der unterscheidbaren Pole angibt. Bei allen hier vorgegebenen Konstellationen gilt stets $I = N$.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Laplace–Rücktransformation.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
- Ist das Zeitsignal $y(t)$ komplex, so kann $Y_{\rm L}(p)$ nicht als Schaltung realisiert werden. Die Anwendung des Residuensatzes ist aber auch in diesem Fall möglich.
- Die komplexe Frequenz $p$, die Nullstellen $p_{{\rm o}i}$ sowie die Pole $p_{{\rm ox}i}$ beschreiben in dieser Aufgabe jeweils normierte Größen ohne Einheit. Damit ist auch die Zeit $t$ dimensionslos.
Fragebogen
Musterlösung
(2) Mit $Y_{\rm L}(p) = 2/(p+1)$ ergibt sich aus dem Residuensatz mit $I=1$:
$$y(t) = 2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p \hspace{0.05cm}t}
\bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}-1}= 2 \cdot {\rm
e}^{- \hspace{0.05cm}t}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}y(t=1)
=\frac{2}{\rm e} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.736 \hspace{0.15cm}{\rm (rein\hspace{0.15cm}reell)}}
\hspace{0.05cm} .$$
(3) Bei gleicher Vorgehensweise wie in der Teilaufgabe (2) erhält man nun:
$$y(t) = 2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-(0.2 \hspace{0.05cm}+
\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}1.5 \pi) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}t}
= 2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2 \hspace{0.08cm}\cdot
\hspace{0.05cm}t}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-{\rm j} \hspace{0.08cm}\cdot \hspace{0.05cm}1.5
\pi\hspace{0.05cm}\cdot
\hspace{0.05cm}t}
\hspace{0.05cm} .$$
Aufgrund des zweiten Terms handelt es sich um ein komplexes Signal, dessen Phase in mathematisch positiver Richtung (entgegen dem Uhrzeigersinn) dreht. Für $t=1$ gilt:
$$y(t = 1) = 2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2} \cdot \left [
\cos(1.5 \pi) + {\rm j} \cdot \sin(1.5 \pi)
\right ]= - {\rm j} \cdot 1.638$$
$$\Rightarrow
\hspace{0.3cm}{\rm Re}\{y(t = 1)\} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0},\hspace{0.2cm} {\rm Im}\{y(t = 1)\} \hspace{0.15cm}\underline{=- 1.638}
\hspace{0.05cm} .$$
Die linke Grafik zeigt das komplexe Signal für einen Pol bei $p_x = -2 + {\rm j} \cdot 1.5 \pi$ . Rechts daneben sieht man das dazu konjugiert–komplexe Signal, wenn der Pol bei $p_x = -2 - {\rm j} \cdot 1.5 \pi$.
(4) Nun gilt $I=2$. Die Residien von $p_{x1}$ bzw. $p_{x2}$ liefern:
$$y_1(t) =
\frac {K \cdot (p-p_{{\rm x}1})} { (p-p_{{\rm x}1})(p-p_{{\rm x}2})} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p
\hspace{0.05cm}t}
\bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}1}}=
\frac {K } { p_{{\rm x}1}-p_{{\rm x}2}} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{{\rm x}1}
\hspace{0.05cm}t}
\hspace{0.05cm} ,$$
$$ y_2(t) =
\frac {K } { p_{{\rm x}2}-p_{{\rm x}1}} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{{\rm x}2}
\hspace{0.05cm}t}=
-\frac {K } { p_{{\rm x}1}-p_{{\rm x}2}} \cdot {\rm e}^{-p_{{\rm x}1}
\hspace{0.05cm}t}$$
$$\Rightarrow
\hspace{0.3cm}y(t)= y_1(t)+y_2(t) =
\frac {2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2
\hspace{0.08cm}\cdot
\hspace{0.05cm}t}}{{\rm j} \cdot 3 \pi} \cdot \left [ \cos(.) + {\rm j} \cdot \sin(.)
- \cos(.) + {\rm j} \cdot \sin(.)\right ]=
\frac {4 }{ 3 \pi} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2
\hspace{0.08cm}\cdot
\hspace{0.05cm}t}\cdot \sin(1.5\pi \cdot t)$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}y(t=1)= -\frac {4 }{ 3 \pi} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2 \hspace{0.08cm}\cdot \hspace{0.05cm}t} \hspace{0.15cm}\underline{= -0.347} \hspace{0.05cm} .$$
Die Grafik zeigt den (rein reellen) Signalverlauf $y(t)$ für die Konfiguration E.
