Exercise 4.8Z: What does the AWGN Channel Capacity Curve say?

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AWGN–Kanalkapazität als Funktion von 10 · lg (E_B/N₀)

Wir betrachten wie in Aufgabe 4.8 die Kanalkapazität des AWGN–Kanals:

$$C_{\rm Gauß}( E_{\rm B}/{N_0}) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) . $$

• Die Kurve ist rechts bei logarithmischer Abszisse zwischen –2 dB und +6 dB dargestellt.
• Der Zusatz „Gauß” weist darauf hin, dass für diese Kurve am AWGN–Eingang eine Gaußverteilung vorausgesetzt wurde.

Eingezeichnet sind in obiger Grafik durch Punkte drei Systemvarianten:

• System $X$:    mit 10 · lg (E_B/N₀) = 4 dB und R = 1,
• System $Y$:    mit 10 · lg (E_B/N₀) = 0 dB und R = 2,
• System $Z$:    mit 10 · lg (E_B/N₀) = 6 dB und R = 1.5.

In den Fragen zu dieser Aufgabe verwenden wir noch folgende Begriffe:

• Digitalsystem:   Symbolumfang M_X = |X| beliebig,
• Binärsystem:   Symbolumfang M_X = 2,
• Quaternärsystem:   Symbolumfang M_X = 4.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel AWGN–Kanalkapazität bei wertkontinuierlichem Eingang.
• Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Die Kanalkapazität C als Funktion von E_B/N₀.
• Da die Ergebnisse in „bit” angegeben werden sollen, wird in den Gleichungen „log”  ⇒  „log₂” verwendet.

Fragebogen

1

Welche Aussage liefert der Punkt X  für die Digitalsignalübertragung?

	Für 10 · lg (EB/N0) = 4 dB ist ein Digitalsystem mit der Rate R = 1 und der Fehlerwahrscheinlichkeit 0 vorstellbar.
	Ein solches System kommt ohne Kanalcodierung aus.
	Ein solches System verwendet einen unendlich langen Code.
	Auch ein Binärsystem kann die Voraussetzungen erfüllen.

2

Welche Aussage liefert der Punkt Y  für die Digitalsignalübertragung?

	Für 10 · lg (EB/N0) = 0 dB ist ein Digitalsystem mit der Rate R = 2 und der Fehlerwahrscheinlichkeit 0 vorstellbar.
	Für 10 · lg (EB/N0) = 0 dB wäre R = 0.5 ausreichend.
	Für die Rate R = 2 würde 10 · lg (EB/N0) = 5 dB genügen.

3

Welche Aussage liefert der Punkt Z  für die Binärübertragung?

	Ein Binärsystem erfüllt die Anforderungen auf keinen Fall.
	Die Kurve CGauß(EB/N0) reicht für diese Bewertung nicht aus.

4

Welche Aussage liefert der Punkt Z  für die Quaternärübertragung?

	Ein Quaternärsystem erfüllt die Anforderungen auf keinen Fall.
	Die Kurve CGauß(EB/N0) reicht für diese Bewertung nicht aus.

Musterlösung

Solution

(1)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3:

• Da der Punkt X rechts von der Kanalkapazitätskurve C_Gauß(E_B/N₀) liegt, gibt es (mindestens) ein Nachrichtensystem der Rate R = 1, das mit 10 · lg (E_B/N₀) = 4 dB eine quasi–fehlerfreie Übertragung ermöglicht.
• Trotz der Coderate R = 1 beinhaltet dieses System eine Kanalcodierung mit einem unendlich langen Code, der aber leider unbekannt ist.
• Ein Binärsystem der Rate R = 1 erlaubt allerdings keine Kanalcodierung.

(2)  Richtig ist nur der Lösungsvorschlag 2. Hier gelten folgende Aussagen:

• Das erforderliche E_B/N₀ für die Rate R = 2 ergibt sich zu

$$(E_{\rm B}/{N_0})_{\rm min} = \frac{2^{2R} - 1} { 2 \cdot R} = \frac{2^4 - 1} { 4 } = 3.75 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10\cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}(E_{\rm B}/{N_0})_{\rm min} = 15.74\,{\rm dB} \hspace{0.05cm}. $$

• Die maximale Coderate R_max für 10 · lg (E_B/N₀) = 0 dB  ⇒  E_B/N₀ = 1 berechnet sich wie folgt:

$$C = R = \frac{1}{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 2^{2R} - 1 \stackrel{!}{=} 2 R \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} R_{\rm max} = 0.5 \hspace{0.05cm}. $$

• Beide Berechnungen zeigen, dass der Punkt Y mit den Kenngrößen 10 · lg (E_B/N₀) = 0 dB und R = 1 das Kanalcodierungstheorem nicht erfüllt.

(3)  Mit einem Binärsystem ist die Rate R = 1.5 niemals realisierbar ⇒ Lösungsvorschlag 1.

(4)  Der Punkt Z liegt rechts von der Grenzkurve und für die Coderate eines Quaternärsystems gilt R ≤ 2. Die Rate R = 1.5 wäre also mit M_X = 4 durchaus zu realisieren. Das heißt: Der Lösungsvorschlag 1 ist falsch. Richtig ist dagegen der zweite Lösungsvorschlag.

• Die vorgegebene Kurve C_Gauß(E_B/N₀) geht stets von einem gaußverteilten Eingang aus.
• Für ein Binärsystem ergibt sich eine andere Grenzkurve, nämlich entsprechend dem Theorieteil „Die Kalalkapazität Cals Funktion von E_B/N₀” mit der Eigenschaft C_BPSK ≤ 1 bit/Kanalzugriff. C_BPSK und C_Gauß unterscheiden sich signifikant.
• Für das Quaternärsystem (M = 4) müsste man eine entsprechende Kurve C_M=4 berechnen und analysieren. Auch hier gilt C_M=4 ≤ C_Gauß.
• Für kleines E_B/N₀ gilt C_M=4 ≈ C_Gauß, danach weicht der Kurvenverlauf deutlich ab und endet in einer Horizontalen bei C_M=4 = 2 bit/Kanalzugriff.

Der Punkt Z   ⇒   10 · lg E_B/N₀ = 6 dB, R = 1.5 liegt unterhalb von C_M=4. Ein solches Quaternärsystem wäre also realisierbar, wie in der Aufgabe 4.10 noch gezeigt wird. Aber allein aus Kenntnis von C_Gauß kann die Frage nicht beantwortet werden.